Câu hỏi:

23/10/2024 1,389

Hai chất điểm \(M\) và \(N\) chuyển động thẳng đều trên trục Ox và Oy vuông góc với nhau (như hình vẽ):

Tại thời điểm t = 0 chất điểm \(M\) đang cách gốc tọa độ \(O\) một đoạn 10 mét; chất điểm \(N\) cách gốc tọa độ \(O\) một đoạn \(12\;{\rm{m}}\). Hai chất điểm cùng chuyển động hướng về \(O\) với các tốc độ tương ứng là 0,4 m/s và 0,3 m/s. Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 chất điểm bằng bao nhiêu?

A. 1,2 m.

B. 3,6 m.

C. 12,96 m.

D. 3,4 m.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 6) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tam giác OMN vuông tại \(O\) nên ta có \(O{M^2} + O{N^2} = M{N^2} = {S^2}\) với \(S\) là khoảng cách giữa hai chất điểm.

Tại thời điểm \(t = {t_0}\) thì khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất \({S_{\min }}\), khi đó ta có:

- Quãng đường mà chất điểm \(M\) đi được là \(0,4.{t_0} \Rightarrow OM = 10 - 0,4{t_0}\)

- Quãng đường mà chất điểm \(N\) đi được là \(0,3.{t_0} \Rightarrow ON = 12 - 0,3{t_0}\)

Vậy \({S_{\min }} = \sqrt {{{\left( {10 - 0,4{t_0}} \right)}^2} + {{\left( {12 - 0,3{t_0}} \right)}^2}} \)

Xét \(f(t) = {(10 - 0,4t)^2} + {(12 - 0,3t)^2}\)

Ta có \({f^\prime }(t) = 2(10 - 0,4t)\).\(( - 0,4) + 2(12 - 0,3t)( - 0,3)\)

\( = - 8 + 0,32t - 7,2 + 0,18t\)

\( = - 15,2 + 0,5t\)

\({f^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow t = 30,4(s)\)

Ta có \(f(0) = 224;f(30,4) = 12,96;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \)

Vậy \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(t = 30,4(s)\)

Khoảng cách nhỏ nhất là \({S_{\min }} = \sqrt {{{(10 - 0,4.30,4)}^2} + {{(12 - 0,3.30,4)}^2}} = 3,6\,\,({\rm{m}})\).

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một vật đang chuyển động đều với vận tốc v0(m/s) thì bắt đầu tăng tốc với phương trình gia tốc \(a(t) = {v_0}t + {t^2}\left( {{\rm{m}}/{{\rm{s}}^2}} \right)\) trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm vật bắt đầu tăng tốc. Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 100 m. Khi đó, vận tốc ban đầu v0 của vật bằng bao nhiêu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3)?

A. 20,722 (m/s).

B. 12,433 (m/s)

C. 21,722 (m/s).

D. 13,433 (m/s).

Lời giải

Phương trình vận tốc \(v(t) = \int a (t){\rm{d}}t = \int {\left( {{v_0}t + {t^2}} \right)} dt = {v_0}\frac{{{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\)

Tại thời điểm \(t = 0 \Rightarrow v(t) = {v_0} \Rightarrow C = {v_0}\)

Vì quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 100 m nên

\(S = 100 = \int\limits_0^3 {v(t)} {\rm{d}}t = \int\limits_0^3 {\left( {{v_0}\frac{{{t^2}}}{2} + \frac{{{t^3}}}{3} + {v_0}} \right)} {\rm{d}}t = 3{v_0} + \frac{9}{2}{v_0} + \frac{{27}}{4} \Rightarrow {v_0} = 12,433\) m/s.

Câu 2

Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là \(P(x) = \frac{{95{x^2} + 120x}}{4}\), với x là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần (1) _______ giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải

Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là \(P(x) = \frac{{95{x^2} + 120x}}{4}\), với x là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần (1) __ 36 __ giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất.

Giải thích

Gọi \(t\) là số giờ làm tăng thêm mỗi tuần, \(t \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) số công nhân bỏ việc là \(\frac{t}{2}\) nên số công nhân làm việc là \(100 - \frac{t}{2}\) người.

Năng suất của công nhân còn \(120 - \frac{{5t}}{2}\) sản phẩm một giờ.

Số thời gian làm việc một tuần là \(40 + t\) giờ.

Để nhà máy hoạt động được thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{40 + t > 0}\\{120 - \frac{{5t}}{2} > 0 \Rightarrow t \in ( - 40;48){\rm{. }}}\\{100 - \frac{t}{2} > 0}\end{array}} \right.\)

Số sản phẩm trong một tuần làm được: \(S = \left( {100 - \frac{t}{2}} \right)\left( {120 - \frac{{5t}}{2}} \right)(40 + t)\).

Số sản phẩm thu được là

\(f(t) = \left( {100 - \frac{t}{2}} \right)\left( {120 - \frac{{5t}}{2}} \right)(40 + t) - \frac{{95{{(40 + t)}^2} + 120(40 + t)}}{4} = \frac{5}{4}{t^3} - \frac{{1135}}{4}{t^2} - 2330t + 440800.\)

\( \Rightarrow {f^\prime }(t) = = \frac{{15}}{4}{t^2} - \frac{{1135}}{2}t - 2330.\)

\({f^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = \frac{{466}}{3}\,\,(\;{\rm{L}})}\end{array}} \right.\)

Ta có BBT như sau

Media VietJack