Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 6)

Số lần xuất hiện mặt lẻ chấm là 14 + 30 + 14 = 58.

⇒ Xác suất của biến cố là: \(\frac{{58}}{{100}} = \frac{{29}}{{50}}\).

Ta có \(w = (1 + \sqrt 3 i)z + 2 \Leftrightarrow w - 3 - \sqrt 3 i = (1 + \sqrt 3 i)(z - 1)\).

\( \Leftrightarrow |w - 3 - \sqrt 3 i| = |1 + \sqrt 3 i||z - 1| \le 4\).

Vậy điểm biểu diễn số phức \(w\) nằm trên hình tròn có bán kính \(r = 4\).

Diện tích hình \((H)\) là \(S = \pi {r^2} = 16\pi \).

Giả sử hình nón đã cho có đường sinh \(l = a\)

Ta có khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp hình nón có bán kính lần lượt là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) và \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\). Gọi \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích của khối cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón.

Ta có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{{\frac{4}{3}\pi {r^3}}} = 8\). 

Ta có: \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow (\widehat {SC;(ABCD)}) = \widehat {SCA} = \alpha \)

Mà ABCD là hình vuông cạnh \(a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)

 vuông tại \(A\) có: 

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), biết \(f(4) = 5\) và \({f^\prime }(4) = 2\). Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{f^2}(x) + f(x) - 30}}{{\sqrt x  - 2}}\) bằng (1) __ 88 __.

Giải thích

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{f^2}(x) + f(x) - 30}}{{\sqrt x  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{(f(x) - 5)(f(x) + 6)}}{{\sqrt x  - 2}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left[ {\frac{{f(x) - f(4)}}{{x - 4}}.(\sqrt x  + 2).(f(x) + 6)} \right] = {f^\prime }(4).(\sqrt 4  + 2).(f(4) + 6) = 88\) (vì

\[{f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}} \right)\]

Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là \(P(x) = \frac{{95{x^2} + 120x}}{4}\), với x là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần (1) __ 36 __ giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất.

Giải thích

 Gọi \(t\) là số giờ làm tăng thêm mỗi tuần, \(t \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) số công nhân bỏ việc là \(\frac{t}{2}\) nên số công nhân làm việc là \(100 - \frac{t}{2}\) người.

Năng suất của công nhân còn \(120 - \frac{{5t}}{2}\) sản phẩm một giờ.

Số thời gian làm việc một tuần là \(40 + t\) giờ.

Để nhà máy hoạt động được thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{40 + t > 0}\\{120 - \frac{{5t}}{2} > 0 \Rightarrow t \in ( - 40;48){\rm{. }}}\\{100 - \frac{t}{2} > 0}\end{array}} \right.\)

Số sản phẩm trong một tuần làm được: \(S = \left( {100 - \frac{t}{2}} \right)\left( {120 - \frac{{5t}}{2}} \right)(40 + t)\).

Số sản phẩm thu được là

\(f(t) = \left( {100 - \frac{t}{2}} \right)\left( {120 - \frac{{5t}}{2}} \right)(40 + t) - \frac{{95{{(40 + t)}^2} + 120(40 + t)}}{4} = \frac{5}{4}{t^3} - \frac{{1135}}{4}{t^2} - 2330t + 440800.\)

\( \Rightarrow {f^\prime }(t) =  = \frac{{15}}{4}{t^2} - \frac{{1135}}{2}t - 2330.\)

\({f^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = \frac{{466}}{3}\,\,(\;{\rm{L}})}\end{array}} \right.\)

Ta có BBT như sau

Vậy số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần lớn nhất khi x = 36.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A(1;0;0),B(2;0;1),C(1;1;1)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z - 6 = 0\). Gọi \((S)\) là mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng \((P)\).

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau: 

Bán kính mặt cầu (S) bằng \(\sqrt {41} \).

Tâm mặt cầu (S) có tung độ bằng 4; cao độ bằng -3.

Giải thích

Gọi \(I(x;y;z)\) là tâm mặt cầu \((S)\) đi qua 3 điểm A, B, C.

Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = I{B^2}}\\{I{B^2} = I{C^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 1)}^2} + {y^2} + {z^2} = {{(x - 2)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{{(x - 2)}^2} + {y^2} + {{(z - 1)}^2} = {{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + 1 =  - 4x + 4 - 2z + 1}\\{ - 4x + 4 =  - 2x + 1 - 2y + 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + z = 2}\\{x - y = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì \(I \in (P)\) nên ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{x + z = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x + y + z - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{y = 4}\\{z =  - 3}\end{array} \Rightarrow I(5;4; - 3)} \right.} \right.\)

Bán kính của mặt cầu \((S)\) là \(R = IA = \sqrt {41} \)

\( \Rightarrow (S):{(x - 5)^2} + {(y - 4)^2} + {(z + 3)^2} = 41.{\rm{ }}\)

Ta có: 

\(S = \sum\limits_{k = 1}^{24} {[\sqrt k ] = [\sqrt 1 ] + [\sqrt 2 ] + [\sqrt 3 ] + [\sqrt 4 ] +  \ldots  + [\sqrt 8 ] + [\sqrt 9 ] +  \ldots  + [\sqrt {15} ] + [\sqrt {16} ] +  \ldots } {\rm{ + [}}\sqrt {23} {\rm{] + [}}\sqrt {24} {\rm{]}}\)
\( \Leftrightarrow S = 1 + 1 + 1 + 2 +  \ldots  + 2 + 3 +  \ldots  + 3 + 4 +  \ldots  + 4 + 4\)

\( \Leftrightarrow S = 3.1 + 5.2 + 7.3 + 9.4 = 70\)