Câu hỏi:
24/10/2024 228
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\) và mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\). Lấy điểm \(M(a;b;c)\) với \(a < 0\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho từ \(M\) kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu \((S)\) (A, B, C là tiếp điểm) thỏa mãn góc \(\widehat {AMB} = {60^o },\,\,\widehat {BMC} = {90^o },\,\,\widehat {CMA} = {120^o}\). Tổng \(a + b + c\) bằng
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải
Bước 1: Gọi MA = MB = MC = m. Tìm AB, AB, BC.
Bước 2: Ta có: AB2 + BC2 = AC2 ⇒ ΔABC vuông tại B. Gọi H là trung điểm của AC, suy ra, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh M, H, I thẳng hàng .
Bước 3: Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ΔMAI vuông tại A, ta nhận được tính IM.
Bước 4: Tìm tọa độ M(a,b,c) sau đó tính tổng a + b + c.
Lời giải
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2; - 3)\), bán kính \(R = 3\sqrt 3 \).
Gọi \(MA = MB = MC = m\).
Tam giác MAB đều \( \Rightarrow AB = m\).
Tam giác MBC vuông cân tại \(M \Rightarrow BC = m\sqrt 2 \).
Tam giác MAC cân tại M, \(\widehat {CMA} = {120^o } \Rightarrow AC = m\sqrt 3 \).
Ta có: vuông tại \(B\).
Gọi \(H\) là trung điểm của AC, suy ra, \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Vì \(MA = MB = MC,IA = IB = IC\) nên M, H, I thẳng hàng .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác \(\Delta MAI\) vuông tại \(A\), ta nhận được \(MI = \frac{{AI}}{{\sin {{60}^o }}} = 6\)
\(M \in d \Rightarrow M(t - 1;t - 2;t + 1) \Rightarrow \overrightarrow {IM} = (t - 2;t - 4;t + 4)\).
\(I{M^2} = 36 \Rightarrow 3{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0 \Rightarrow M( - 1; - 2;1)\quad (t/m)}\\{t = \frac{4}{3} \Rightarrow M\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 2}}{3};\frac{7}{3}} \right)\quad (l)}\end{array} \Rightarrow a + b + c = - 2} \right.\).
Chọn A
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án
a) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng \(\frac{1}{2}{P_0}\) thì máy bay đang ở độ cao 5,84 km. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
b) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng \(\frac{4}{5}\) lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B. Ngọn núi cao hơn là A, ngọn núi thấp hơn là B. Độ cao chênh lệch giữa hai ngọn núi là 1,88km. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Phương pháp giải
Lời giải
a) Độ cao của máy bay khi áp suất không khí ngoài máy bay bằng \(\frac{1}{2}{P_0}\) là:
\(h = - 19,4.\log \frac{{\frac{1}{2}{P_0}}}{{{P_0}}} = - 19,4.\log \frac{1}{2} \approx 5,84\,\,({\rm{km}}).\)
b) Độ cao của ngọn núi A là: \({h_A} = - 19,4.\log \frac{{{P_A}}}{{{P_0}}}\).
Độ cao của ngọn núi B là: \({h_B} = - 19,4.\log \frac{{{P_B}}}{{{P_0}}}\).
Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi \(A\) bằng \(\frac{4}{5}\) lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi \(B\) nên ta có:\({P_A} = \frac{4}{5}{P_B} \Leftrightarrow \frac{{{P_A}}}{{{P_B}}} = \frac{4}{5}{\rm{. }}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{h_A} - {h_B} = \left( { - 19,4.\log \frac{{{P_A}}}{{{P_0}}}} \right) - \left( { - 19,4.\log \frac{{{P_B}}}{{{P_0}}}} \right) = - 19,4.\log \frac{{{P_A}}}{{{P_0}}} + 19,4.\log \frac{{{P_B}}}{{{P_0}}}\\ = - 19,4\log \left( {\frac{{{P_A}}}{{{P_0}}}:\frac{{{P_B}}}{{{P_0}}}} \right) = - 19,4\log \frac{{{P_A}}}{{{P_B}}} = - 19,4\log \frac{4}{5} \approx 1,88\,\,({\rm{km}}).\end{array}\)
Vậy ngọn núi \(A\) cao hơn ngọn núi \(B\) là \(1,88\;{\rm{km}}\).
Lời giải
Phương pháp giải
- Gọi h là chiều cao của hình trụ, biểu diễn h theo R.
- Biểu diễn diện tích toàn phần theo R.
- Sử dụng BĐT Cauchy để tìm giá trị min.
Diện tích hình trụ, thể tích khối trụ
Lời giải
Ta có 1000 lít = 1 m3.
Gọi h là chiều cao của hình trụ ta có \(K = \pi {R^2}h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{{\pi {R^2}}}\).
Diện tích toàn phần là: \({S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + 2\pi R\frac{1}{{\pi {R^2}}} = 2\pi {R^2} + \frac{2}{R}\)
\( = 2\left( {\pi {R^2} + \frac{1}{{2R}} + \frac{1}{{2R}}} \right) \ge 2.3\sqrt[3]{{\pi {R^2}.\frac{1}{{2R}}.\frac{1}{{2R}}}} = 6\sqrt[3]{{\frac{\pi }{4}}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\pi {R^2} = \frac{1}{{2R}} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2\pi }}}}\)
Chọn C
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 24)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 18)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 29)
-
ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Xác suất của biến cố và các quy tắc tính xác suất
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 6)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 8)