Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\) và mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\). Lấy điểm \(M(a;b;c)\) với \(a < 0\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho từ \(M\) kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu \((S)\) (A, B, C là tiếp điểm) thỏa mãn góc \(\widehat {AMB} = {60^o },\,\,\widehat {BMC} = {90^o },\,\,\widehat {CMA} = {120^o}\). Tổng \(a + b + c\) bằng

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi MA = MB = MC = m. Tìm AB, AB, BC.

Bước 2: Ta có: AB2 + BC2 = AC2 ⇒ ΔABC vuông tại B. Gọi H là trung điểm của AC, suy ra, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh  M, H, I thẳng hàng .

Bước 3: Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ΔMAI vuông tại A, ta nhận được tính IM. 

Bước 4: Tìm tọa độ M(a,b,c) sau đó tính tổng a + b + c.

Lời giải

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2; - 3)\), bán kính \(R = 3\sqrt 3 \).

Gọi \(MA = MB = MC = m\).

Tam giác MAB đều \( \Rightarrow AB = m\).

Tam giác MBC vuông cân tại \(M \Rightarrow BC = m\sqrt 2 \).

Tam giác MAC cân tại M, \(\widehat {CMA} = {120^o } \Rightarrow AC = m\sqrt 3 \).

Ta có:  vuông tại \(B\).

Gọi \(H\) là trung điểm của AC, suy ra, \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vì \(MA = MB = MC,IA = IB = IC\) nên M, H, I thẳng hàng .

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác \(\Delta MAI\) vuông tại \(A\), ta nhận được \(MI = \frac{{AI}}{{\sin {{60}^o }}} = 6\)

\(M \in d \Rightarrow M(t - 1;t - 2;t + 1) \Rightarrow \overrightarrow {IM}  = (t - 2;t - 4;t + 4)\).

\(I{M^2} = 36 \Rightarrow 3{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0 \Rightarrow M( - 1; - 2;1)\quad (t/m)}\\{t = \frac{4}{3} \Rightarrow M\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 2}}{3};\frac{7}{3}} \right)\quad (l)}\end{array} \Rightarrow a + b + c =  - 2} \right.\).

 Chọn A