Câu hỏi:

30/10/2024 97

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = {90^ \circ },AB = a,AC = a\sqrt 5 ,\widehat {ABC} = {135^ \circ }\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {CBD} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng 

Đáp án chính xác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = {90^ \circ },AB = a,AC = a\sqrt 5 ,\widehat {ABC} = {135^ \circ }\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {CBD} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng 	A. \(\frac{{{a^3}}}{3}\).	B. \(\frac{{{a^3}}}{6}\).	C. \(\frac{{2{a^3}}}{9}\).	D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\). (ảnh 1)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) xuống mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

Kẻ \(HK//BC\left( {K \in BD} \right)\). Ta có \(BD \bot BC\) suy ra \(HK \bot BD\) mà \(AH \bot BD\) nên \(BD \bot \left( {AHK} \right)\).

Suy ra \(BD \bot AK\).

Do đó \(\left( {\widehat {\left( {ABD} \right),\left( {BCD} \right)}} \right) = \widehat {AKH} = {30^ \circ }\).

Kẻ \(HM//BD\left( {M \in BC} \right)\). Ta có \(BC \bot BD\) suy ra \(HM \bot BC\) mà \(AH \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {AHM} \right)\).

Suy ra \(BC \bot AM\).

Ta có \(\widehat {ABC} = {135^ \circ }\) suy ra \(\widehat {ABM} = {45^ \circ }\) nên tam giác \(AMB\) vuông cân tại \(M\).

Suy ra \(AM = MB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Tứ giác \(BKHM\) là hình chữ nhật nên \(HK = BM = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Tam giác \(AHK\) vuông tại \(H\) có \(\widehat {AKH} = {30^ \circ }\) nên \(AH = \frac{{HK}}{{{\rm{cot}}{{30}^ \circ }}} = \frac{a}{{\sqrt 6 }},AK = 2AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 6 }}\).

Xét tam giác \(BAD\) vuông tại \(A\), đường cao \(AK\).

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{6}{{4{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \).

\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác \(ABC\) có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}{135^ \circ }\) hay \(5{a^2} = {a^2} + B{C^2} + \sqrt 2 aBC\)

\( \Leftrightarrow \left( {BC + 2\sqrt 2 a} \right)\left( {BC - \sqrt 2 a} \right) = 0 \Leftrightarrow BC = \sqrt 2 a\).

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{6}.AH.BC.BD = \frac{1}{6}.\frac{a}{{\sqrt 6 }}.a\sqrt 2 .a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}}}{6}\).

 Chọn B

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Màu sắc lông của mèo Xiêm thường sẫm màu hơn ở 

Xem đáp án » 02/07/2024 2,210

Câu 2:

Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên của lớp học này. Tính xác suất để 2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ. Biết rằng trường này chỉ dạy hai loại ngoại ngữ là tiếng Anh và tiếng Pháp.

Xem đáp án » 30/10/2024 2,180

Câu 3:

Phát biểu sau đúng hay sai?

Ethylene có công thức cấu tạo: H−C≡C−H. Trong phân tử ethylene có một liên kết ba giữa hai nguyên tử carbon.

Xem đáp án » 02/07/2024 2,049

Câu 4:

Phần tư duy khoa học / giải quyết vấn đề

Phát biểu sau đây đúng hay sai? 

Lực tương tác giữa proton và electron được gọi là lực hút tĩnh điện.

Xem đáp án » 02/07/2024 1,633

Câu 5:

Trong công nghệ “tàu đệm từ” EDS, các nam châm trên tàu được đặt ở 

Xem đáp án » 02/07/2024 1,576

Câu 6:

Phần tư duy đọc hiểu

Xác định nội dung chính của bài viết. 

Xem đáp án » 02/07/2024 1,534

Câu 7:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 4y - 2z - 6 = 0\) và \(\left( Q \right):x - 2y + 4z - 6 = 0\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) đồng thời cắt các trục tọa độ tại các điểm \(A,B,C\) sao cho hình chóp \(O.ABC\) đều. Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là 

Xem đáp án » 30/10/2024 1,455
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua