Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = {90^ \circ },AB = a,AC = a\sqrt 5 ,\widehat {ABC} = {135^ \circ }\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {CBD} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng
Quảng cáo
Trả lời:


Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) xuống mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).
Kẻ \(HK//BC\left( {K \in BD} \right)\). Ta có \(BD \bot BC\) suy ra \(HK \bot BD\) mà \(AH \bot BD\) nên \(BD \bot \left( {AHK} \right)\).
Suy ra \(BD \bot AK\).
Do đó \(\left( {\widehat {\left( {ABD} \right),\left( {BCD} \right)}} \right) = \widehat {AKH} = {30^ \circ }\).
Kẻ \(HM//BD\left( {M \in BC} \right)\). Ta có \(BC \bot BD\) suy ra \(HM \bot BC\) mà \(AH \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {AHM} \right)\).
Suy ra \(BC \bot AM\).
Ta có \(\widehat {ABC} = {135^ \circ }\) suy ra \(\widehat {ABM} = {45^ \circ }\) nên tam giác \(AMB\) vuông cân tại \(M\).
Suy ra \(AM = MB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Tứ giác \(BKHM\) là hình chữ nhật nên \(HK = BM = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Tam giác \(AHK\) vuông tại \(H\) có \(\widehat {AKH} = {30^ \circ }\) nên \(AH = \frac{{HK}}{{{\rm{cot}}{{30}^ \circ }}} = \frac{a}{{\sqrt 6 }},AK = 2AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 6 }}\).
Xét tam giác \(BAD\) vuông tại \(A\), đường cao \(AK\).
\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{6}{{4{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \).
\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).
Xét tam giác \(ABC\) có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}{135^ \circ }\) hay \(5{a^2} = {a^2} + B{C^2} + \sqrt 2 aBC\)
\( \Leftrightarrow \left( {BC + 2\sqrt 2 a} \right)\left( {BC - \sqrt 2 a} \right) = 0 \Leftrightarrow BC = \sqrt 2 a\).
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{6}.AH.BC.BD = \frac{1}{6}.\frac{a}{{\sqrt 6 }}.a\sqrt 2 .a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}}}{6}\).
Chọn B
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ethylene có công thức cấu tạo:

Trong phân tử ethylene có một liên kết đôi giữa hai nguyên tử carbon.
Chọn B
Câu 2
Lời giải
Dựa vào thông tin ở bài đọc: “khiến chúng phát triển màu sắc tại các phần lạnh hơn và có màu nhợt nhạt hơn tại các phần thân ấm hơn” nên suy ra được đáp án chính xác là màu sắc lông của mèo Xiêm thường sẫm màu hơn ở những vùng lạnh hơn so với nhiệt độ trung bình trên cơ thể.
Chọn A
Câu 3
A. \(\frac{{29}}{{106}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.