Câu hỏi:

30/10/2024 168 Lưu

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = {90^ \circ },AB = a,AC = a\sqrt 5 ,\widehat {ABC} = {135^ \circ }\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {CBD} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng 

A. \(\frac{{{a^3}}}{3}\).
B. \(\frac{{{a^3}}}{6}\). 
C. \(\frac{{2{a^3}}}{9}\). 
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = {90^ \circ },AB = a,AC = a\sqrt 5 ,\widehat {ABC} = {135^ \circ }\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {CBD} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) bằng 	A. \(\frac{{{a^3}}}{3}\).	B. \(\frac{{{a^3}}}{6}\).	C. \(\frac{{2{a^3}}}{9}\).	D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\). (ảnh 1)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) xuống mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

Kẻ \(HK//BC\left( {K \in BD} \right)\). Ta có \(BD \bot BC\) suy ra \(HK \bot BD\) mà \(AH \bot BD\) nên \(BD \bot \left( {AHK} \right)\).

Suy ra \(BD \bot AK\).

Do đó \(\left( {\widehat {\left( {ABD} \right),\left( {BCD} \right)}} \right) = \widehat {AKH} = {30^ \circ }\).

Kẻ \(HM//BD\left( {M \in BC} \right)\). Ta có \(BC \bot BD\) suy ra \(HM \bot BC\) mà \(AH \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {AHM} \right)\).

Suy ra \(BC \bot AM\).

Ta có \(\widehat {ABC} = {135^ \circ }\) suy ra \(\widehat {ABM} = {45^ \circ }\) nên tam giác \(AMB\) vuông cân tại \(M\).

Suy ra \(AM = MB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Tứ giác \(BKHM\) là hình chữ nhật nên \(HK = BM = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).

Tam giác \(AHK\) vuông tại \(H\) có \(\widehat {AKH} = {30^ \circ }\) nên \(AH = \frac{{HK}}{{{\rm{cot}}{{30}^ \circ }}} = \frac{a}{{\sqrt 6 }},AK = 2AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 6 }}\).

Xét tam giác \(BAD\) vuông tại \(A\), đường cao \(AK\).

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{6}{{4{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \).

\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác \(ABC\) có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}{135^ \circ }\) hay \(5{a^2} = {a^2} + B{C^2} + \sqrt 2 aBC\)

\( \Leftrightarrow \left( {BC + 2\sqrt 2 a} \right)\left( {BC - \sqrt 2 a} \right) = 0 \Leftrightarrow BC = \sqrt 2 a\).

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{6}.AH.BC.BD = \frac{1}{6}.\frac{a}{{\sqrt 6 }}.a\sqrt 2 .a\sqrt 3  = \frac{{{a^3}}}{6}\).

 Chọn B

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ethylene có công thức cấu tạo: 

Phát biểu sau đúng hay sai? Ethylene có công thức cấu tạo: H−C≡C−H. Trong phân tử ethylene có một liên kết ba giữa hai nguyên tử carbon. (ảnh 1)

Trong phân tử ethylene có một liên kết đôi giữa hai nguyên tử carbon. 

 Chọn B

Câu 2

A. những vùng lạnh hơn so với nhiệt độ trung bình trên cơ thể. 
B. những vùng ấm hơn hay tương ứng với nhiệt độ trung bình trên cơ thể. 
C. những phần hoạt động nhiều trên cơ thể. 
D. những phần kém hoạt động trên cơ thể.

Lời giải

Dựa vào thông tin ở bài đọc: “khiến chúng phát triển màu sắc tại các phần lạnh hơn và có màu nhợt nhạt hơn tại các phần thân ấm hơn” nên suy ra được đáp án chính xác là màu sắc lông của mèo Xiêm thường sẫm màu hơn ở những vùng lạnh hơn so với nhiệt độ trung bình trên cơ thể.

 Chọn A

Câu 6

A. vị trí trên cùng của tàu đệm từ. 
B. mọi vị trí trên tàu. 
C. đáy của tàu đệm từ. 
D. phía sau của tàu đệm từ.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP