Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Giả sử \(H\) là trung điểm cạnh \(AB\) và hai mặt phẳng \(\left( {SHC} \right),\left( {SHD} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết hình chóp \(S.ABCD\) có ba mặt bên là tam giác vuông.

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Hình chóp \(S.ABCD\) có mặt bên \(SCD\) không là tam giác vuông.
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{{a^3}}}{6}\).

Đáp án

Giải thích

Vì \(\left( {SHC} \right)\) và \(\left( {SHD} \right)\) cùng vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(SH\) là đường cao của hình chóp. Hai tam giác \(SAD\) và \(SBC\) lần lượt vuông tại \(A\) và \(B\) (theo định lí ba đường vuông góc).

Tam giác \(SCD\) có \(SC = SD\) (vì \(HC = HD\) ) nên nó không thể vuông tại \(C\) hoặc \(D\). Giả sử tam giác \(SCD\) vuông tại \(S\) thì \(SC < CD = a\) nhưng tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) nên \(SC > BC = a\) (mâu thuẫn).

Do đó tam giác \(SCD\) không là tam giác vuông.

Từ đó suy ra tam giác \(SAB\) phải là tam giác vuông. Do \(SA = SB\) (vì \(HA = HB\) ) nên tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\), suy ra \(SH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}\).