Điền các số nguyên dương thích hợp vào các chỗ trống.

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \({F_1}\left( { - 3;0;0} \right),{F_2}\left( {3;0;0} \right)\). Gọi \(\left( E \right)\) là tập hợp các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) trong không gian thoả mãn điều kiện \(M{F_1} + M{F_2} = 10\). Giá trị của \(\alpha \) bằng (1) ______, trong đó \(\alpha \) thoả mãn \(M{F_1}{\;^2} - M{F_2}{\;^2} = \alpha .x\). Giá trị của \(\beta \) bằng (2) _______, trong đó \(\beta \) thoả mãn \(M{F_1} = \beta  + \frac{{3x}}{5}\). Phương trình của mặt \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} + \frac{{{z^2}}}{c} = 1\), giá trị của a bằng (3) _______, giá trị của \(b\) bằng (4) _________, giá trị của \(c\) bằng (5) ________.

Đáp án

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \({F_1}\left( { - 3;0;0} \right),{F_2}\left( {3;0;0} \right)\). Gọi \(\left( E \right)\) là tập hợp các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) trong không gian thoả mãn điều kiện \(M{F_1} + M{F_2} = 10\). Giá trị của \(\alpha \) bằng (1) ___12___, trong đó \(\alpha \) thoả mãn \(M{F_1}{\;^2} - M{F_2}{\;^2} = \alpha .x\). Giá trị của \(\beta \) bằng (2) ___5___, trong đó \(\beta \) thoả mãn \(M{F_1} = \beta  + \frac{{3x}}{5}\). Phương trình của mặt \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} + \frac{{{z^2}}}{c} = 1\), giá trị của a bằng (3) ___25___, giá trị của \(b\) bằng (4) ___16___, giá trị của \(c\) bằng (5) ___16___.

Giải thích

Ta có \(M{F_1}^2 - M{F_2}^2 = {(x + 3)^2} + {y^2} + {z^2} - \left[ {{{(x - 3)}^2} + {y^2} + {z^2}} \right] = 12x\)

\( \Rightarrow M{F_1} - M{F_2} = \frac{{MF_1^2 - MF_2^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{6}{5}x\)

\( \Rightarrow M{F_1} = \frac{{\left( {M{F_1} - M{F_2}} \right) + \left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)}}{2} = 5 + \frac{3}{5}x\)

\( \Rightarrow {(x + 3)^2} + {y^2} + {z^2} = 25 + 6x + \frac{9}{{25}}{x^2}\)

\( \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} + \frac{{{z^2}}}{{16}} = 1.\)