Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = b,AC = BD = c,AD = BC = d\). Gọi \(O,O'\) lần lượt là trung điểm của \({\rm{AC}}\) và \({\rm{BD}}\). Dựng hai hình bình hành \(ACC'A',BDD'B'\) sao cho \(A'C'\) nhận \(O'\) làm trung điểm, \(B'D'\) nhận \({\rm{O}}\) làm trung điểm. Nối các đoạn thẳng \(AA',BB',CC',DD'\), ta thu được hình hộp \(AB'CD'.A'BC'D\).

Các phát biểu dưới đây là đúng hay sai?

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
1) \(AB'CD'.A'BC'D\) là hình hộp chữ nhật.
2) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(\pi \left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\)
3) Thể tích khối tứ diện \({\rm{ABCD}}\) bằng \(\frac{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2} - {d^2}} \right)\left( {{b^2} - {c^2} + {d^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2} - {b^2}} \right)} }}{{12}}\)

Phát biểu

ĐÚNG

SAI

1) \(AB'CD'.A'BC'D\) là hình hộp chữ nhật.

2) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(\pi \left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\)

3) Thể tích khối tứ diện \({\rm{ABCD}}\) bằng \(\frac{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2} - {d^2}} \right)\left( {{b^2} - {c^2} + {d^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2} - {b^2}} \right)} }}{{12}}\)

Lí do lựa chọn phương án

1

Đúng vì:

Mỗi mặt của hình hộp là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau, do đó các mặt của hình hộp đều là những hình chữ nhật.

2

Sai vì:

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính là

\(A{C^\prime } = \sqrt {{A^\prime }{A^2} + {A^\prime }{B^2} + {A^\prime }{D^2}} \)

Vì \(A{B^2} = {A^\prime }{B^2} + {A^\prime }{A^2};A{C^2} = {A^\prime }{B^2} + {A^\prime }{D^2};A{D^2} = {A^\prime }{A^2} + {A^\prime }{D^2}\)

\( \Rightarrow 2\left( {{A^\prime }{A^2} + {A^\prime }{B^2} + {A^\prime }{D^2}} \right) = A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}\)

\( \Rightarrow A{C^\prime } = \sqrt {\frac{{{b^2} + {c^2} + {d^2}}}{2}} \)

Suy ra diện tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

\(4\pi {R^2} = \pi AC{'^2} = \frac{{\left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\pi }}{2}\).

3

Đúng vì:

Ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{V_{A{B^\prime }C{D^\prime }.{A^\prime }B{C^\prime }D}} = \frac{{{A^\prime }A.{A^\prime }B.{A^\prime }D}}{3}\)

\( = \frac{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2} - {d^2}} \right)\left( {{b^2} - {c^2} + {d^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {d^2}} \right)} }}{{12}}\).