Có (1) _______ số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right|\) và \(|\left( {z - 4} \right)\left( {\overline z  - 4i} \right)\left|  =  \right|z + 4i{|^2}\).

Đáp án

Có (1) ___4___ số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right|\) và \(|\left( {z - 4} \right)\left( {\overline z  - 4i} \right)\left|  =  \right|z + 4i{|^2}\).

Giải thích

Ta có \(\overline z  - 4i = \overline {z + 4i}  \Rightarrow \left| {\overline z  - 4i\left|  =  \right|\overline {z + 4i} \left|  =  \right|z + 4i} \right|\).

\[|\left( {z - 4} \right)\left( {\overline z  - 4i} \right)\left|  =  \right|z + 4i{|^2} \Leftrightarrow |z - 4\left| . \right|\overline z  - 4i\left|  =  \right|z + 4i{|^2} \Leftrightarrow |z - 4\left| . \right|z + 4i\left|  =  \right|z + 4i{|^2}\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {z + 4i} \right| = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\left| {z - 4\left|  =  \right|z + 4i} \right|\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Xét (1): \(\left| {z + 4i} \right| = 0 \Leftrightarrow z + 4i = 0 \Leftrightarrow z =  - 4i \Rightarrow \overline z  = 4i\).

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z^2} =  - 16 \Rightarrow \left| {{z^2}} \right| = 16}\\{\left| {z - \overline z \left|  =  \right| - 8i} \right| = 8}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right|\) (thỏa mãn yêu cầu bài toán).

Xét (2): \(\left| {z - 4\left|  =  \right|z + 4i} \right|\)

Giả sử \(z = a + bi\), với \(a,b \in \mathbb{R}\).

Ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {(a - 4)^2} + {b^2} = {a^2} + {(b + 4)^2} \Leftrightarrow b =  - a\).

Hay \(z = a - ai \Rightarrow {z^2} =  - 2{a^2}i \Rightarrow \left| {{z^2}} \right| = 2{a^2}\) và \(z - \overline z  =  - 2ai \Rightarrow \left| {z - \overline z } \right| = 2\left| a \right|\).

Khi đó \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right| \Leftrightarrow 2{a^2} = 4\left| a \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{a =  \pm 2}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 0}\\{z = 2 - 2i{\rm{.\;}}}\\{z =  - 2 + 2i}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy có 4 số phức \(z = 0,z = 2 - 2i,z =  - 2 + 2i,z =  - 4i\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.