Một khối cầu pha lê gồm một hình cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) bán kính \(R\) và một hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là \(r,l\) thỏa mãn \(r = \frac{1}{2}l\) và \(l = \frac{3}{2}R\) xếp chồng lên nhau. Biết tổng diện tích mặt cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) và diện tích toàn phần của hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) là \(91{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\). Diện tích của mặt cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) bằng (1) ________ \(c{m^2}\).

Đáp án

Một khối cầu pha lê gồm một hình cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) bán kính \(R\) và một hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là \(r,l\) thỏa mãn \(r = \frac{1}{2}l\) và \(l = \frac{3}{2}R\) xếp chồng lên nhau. Biết tổng diện tích mặt cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) và diện tích toàn phần của hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) là \(91{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\). Diện tích của mặt cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) bằng (1) ___64___ \(c{m^2}\).

Giải thích

Ta có: \(r = \frac{1}{2}l = \frac{1}{2}.\frac{3}{2}R = \frac{3}{4}R\). Diện tích mặt cầu \({S_1} = 4\pi {R^2}\)

Diện tích toàn phần của hình nón \({S_2} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .\frac{3}{4}R.\frac{3}{2}R + \pi .\frac{9}{{16}}{R^2} = \frac{{27\pi {R^2}}}{{16}}\)

Theo giả thiết: \(4\pi {R^2} + \frac{{27\pi {R^2}}}{{16}} = 91 \Leftrightarrow \frac{{91\pi {R^2}}}{{16}} = 91 \Leftrightarrow \pi {R^2} = 16\).

Vậy \({S_1} = 4\pi {R^2} = 64{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).