Phần tư duy toán học

Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) không đi qua \(I\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi \(16\pi {\rm{cm}}\). Biết đường kính \(CD\) của \(\left( S \right)\) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) tại \(H\) và \(CH = 16{\rm{\;cm}}\) (điểm \(I\) nằm giữa \(C\) và \(H\)). Diện tích mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng bao nhiêu? 

Vì \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI \bot CD,CD = 2OI\).

Kẻ \(OH \bot SI\) tại \(H \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {O,SI} \right) = OH = 1\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SCD) \cap (ABCD) = CD}\\{SI \subset (SCD),SI \bot CD}\\{OI \subset (ABCD),OI \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow ((SCD),(ABCD)) = (SI,OI) = (SI,AD) = \widehat {SIO} = {45^^\circ }\)

Xét tam giác vuông \(HIO \Rightarrow OI = \frac{{OH}}{{{\rm{sin}}\widehat {SIO}}} = \frac{1}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \sqrt 2  \Rightarrow CD = 2OI = 2\sqrt 2 \).

Ta có \({\rm{\Delta }}SIO\) là tam giác vuông cân tại \(O \Rightarrow SO = OI = \sqrt 2 \).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}C{D^2}.SO = \frac{1}{3}{(2\sqrt 2 )^2}.\sqrt 2  = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\).

 Chọn D