Phần nguyên của số thực \(x\), được kí hiệu là \(\left[ x \right]\), là số nguyên lớn nhất không vượt quá \(x\). Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
\(\left[ {\frac{{{{10}^{10}}}}{2}} \right] + \left[ {\frac{{{{10}^{10}} + 1}}{2}} \right] = {10^{10}}\).
Với mọi số nguyên dương \(n\) ta luôn có: \(\left[ {\frac{n}{2}} \right] + \left[ {\frac{{n + 1}}{2}} \right] = n\).

Đáp án

Giải thích

+) \(\left[ {\frac{{{{10}^{10}}}}{2}} \right] + \left[ {\frac{{{{10}^{10}} + 1}}{2}} \right] = \left[ {\frac{{{{10}^{10}}}}{2}} \right] + \left[ {\frac{{{{10}^{10}}}}{2} + \frac{1}{2}} \right] = \frac{{{{10}^{10}}}}{2} + \frac{{{{10}^{10}}}}{2} = {10^{10}}\).

+) Cho \(n\) là số nguyên dương.

- Nếu \(n\) chẵn tức là \(n = 2k\left( {k \in \mathbb{N}{\rm{*}}} \right)\) thì

\(\left[ {\frac{n}{2}} \right] + \left[ {\frac{{n + 1}}{2}} \right] = \left[ {\frac{{2k}}{2}} \right] + \left[ {\frac{{2k + 1}}{2}} \right] = \left[ k \right] + \left[ {k + \frac{1}{2}} \right] = k + k = 2k = n\).

- Nếu \(n\) lẻ tức là \(n = 2k + 1{\rm{\;}}\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì

\(\left[ {\frac{n}{2}} \right] + \left[ {\frac{{n + 1}}{2}} \right] = \left[ {\frac{{2k + 1}}{2}} \right] + \left[ {\frac{{2k + 1 + 1}}{2}} \right] = \left[ {k + \frac{1}{2}} \right] + \left[ {k + 1} \right] = k + k + 1 = 2k + 1 = n\).

Vậy với mọi số nguyên dương \(n\) ta luôn có: \(\left[ {\frac{n}{2}} \right] + \left[ {\frac{{n + 1}}{2}} \right] = n\).