Cho hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} + 8x + 4\) có đồ thị hàm số \(\left( C \right)\). Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Với \(m = 2\) thì đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Có tất cả 10 giá trị nguyên của \(m\) để đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) đã cho cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1.

Đáp án

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm \({x^4} - 4{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} + 8x + 4 = 0\left( {\rm{*}} \right)\)

+ Với \(m = 2 \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) trở thành:

\({x^4} - 4{x^3} + 8x + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 3 \)

(Hoặc sử dụng máy tính ta tìm được 2 nghiệm của \(x\) thỏa mãn phương trình)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

+ Ta thấy \(x = 0\) không là nghiệm của \(\left( {\rm{*}} \right)\) nên với \(x \ne 0\) ta có:

\(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} + 8x + 4 = \left( {2 - m} \right){x^2}\)

\( \Leftrightarrow 2 - m = {x^2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}{\rm{\;}}\left( {{\rm{**}}} \right)\)

Đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} + 8x + 4\) cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ

lớn hơn \(1 \Leftrightarrow \left( {\rm{*}} \right)\) có đúng hai nghiệm lớn hơn \(1 \Leftrightarrow \left( {{\rm{**}}} \right)\) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 .

\( \Leftrightarrow \) Đường thẳng \(y = 2 - m\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = {x^2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.

Xét hàm số \(y = {x^2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow y' = 2x - 4 - \frac{8}{{{x^2}}} - \frac{8}{{{x^3}}} = \frac{{2{x^4} - 4{x^3} - 8x - 8}}{{{x^2}}}\).

Cho \(\left. {y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^4} - 4{x^3} - 8x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2} \right.} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - \sqrt 3 \,\,(L)\,\,\,\,}\\{x = 1 + \sqrt 3 \,\,(t/m)}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt \( \Leftrightarrow 0 < 2 - m < 9 \Leftrightarrow  - 7 < m < 2\).

Vì \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 6, - 5, \ldots ,1} \right\}\).

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.