Phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{4}{{{x^2}}} = {2^{x + 2}}\) có bao nhiêu nghiệm?

Vì \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI \bot CD,CD = 2OI\).

Kẻ \(OH \bot SI\) tại \(H \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {O,SI} \right) = OH = 1\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SCD) \cap (ABCD) = CD}\\{SI \subset (SCD),SI \bot CD}\\{OI \subset (ABCD),OI \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow ((SCD),(ABCD)) = (SI,OI) = (SI,AD) = \widehat {SIO} = {45^^\circ }\)

Xét tam giác vuông \(HIO \Rightarrow OI = \frac{{OH}}{{{\rm{sin}}\widehat {SIO}}} = \frac{1}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \sqrt 2  \Rightarrow CD = 2OI = 2\sqrt 2 \).

Ta có \({\rm{\Delta }}SIO\) là tam giác vuông cân tại \(O \Rightarrow SO = OI = \sqrt 2 \).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}C{D^2}.SO = \frac{1}{3}{(2\sqrt 2 )^2}.\sqrt 2  = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\).

 Chọn D

Đường kính của khối cầu bằng chiều cao của phần chứa nước của cốc nước nên \(OS = 2OH\).

Thể tích nước tràn ra là thể tích của một nửa khối cầu (phần chìm trong nước):

\(18\pi  = \frac{{{V_C}}}{2} = \frac{{2\pi .O{H^3}}}{3}\) suy ra \(OH = 3\).

Xét tam giác \(AOS\) vuông tại \(O\), đường cao \(OH\) :

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}}\) hay

\(\frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{4O{H^2}}} = \frac{3}{{4O{H^2}}} = \frac{3}{{{{4.3}^2}}} = \frac{1}{{12}}\).

Suy ra \(OA = 2\sqrt 3 \).

Thể tích lượng nước còn lại trong cốc là:

\(V = {V_n} - \frac{{{V_c}}}{2} = \frac{1}{3}\pi .O{A^2}.OS - 18\pi  = \frac{1}{3}\pi .{(2\sqrt 3 )^2}.6 - 18\pi  = 6\pi \left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

 Chọn B