Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x - 1{\rm{\;khi\;}}x \le 2}\\{x + 5{\rm{\;khi}}\,\,x{\rm{\;}} > 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\). Biết \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^4} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left[ {{\rm{ln}}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x = \frac{a}{b}} \) với \(a,b \in {\mathbb{Z}^{\rm{*}}}\) và ƯCLN \(\left( {a;b} \right) = 1\).

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

Giá trị của \(a\) là _______.

Giá trị của \(b\) là _______.

Đáp án

Giá trị của \(a\) là 31.

Giá trị của \(b\) là 3 .   

Giải thích

Với \(x < 2\), ta có \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

Với \(x > 2\), ta có \(f\left( x \right) = x + 5\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + 2x - 1} \right) = 7\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 2} \right) = 7;f\left( 2 \right) = 7\).

Do đó \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 2\).

Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đặt \(t = {\rm{ln}}\left( {{x^2} + 1} \right) \to {\rm{d}}t = \frac{{2x{\rm{\;d}}x}}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow \frac{{x{\rm{\;d}}x}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{\rm{d}}t}}{2}\).

Đổi cận:

Với \(x = 0\) ta có \(t = 0\)

Với \(x = \sqrt {{e^4} - 1} \) ta có \(t = 4\)

Khi đó

\( = \frac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 5x} \right)} \right|_2^4} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{{14}}{3} + 16} \right) = \frac{{31}}{3}\)