Cho hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^3} - \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} + m\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng 2 . Tích các phần tử của \(S\) bằng (1) ______.

Đáp án

Cho hàm số \(y =  - \frac{1}{2}{x^4} + \left( {m - 1} \right){x^3} - \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} + m\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng 2 . Tích các phần tử của \(S\) bằng (1) ___2___.

Giải thích

Ta có: \(y' =  - 2{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {{m^2} + 2} \right)x\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 3\left( {m - 1} \right)x - 2\left( {{m^2} + 2} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\({{\rm{\Delta }}_{f\left( x \right)}} = 9{(m - 1)^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left[ { - 2\left( {{m^2} + 2} \right)} \right] =  - 7{m^2} - 18m - 23 < 0,\forall m \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm.

Bảng xét dấu của hàm số trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) :

Từ bảng xét dấu ta thấy \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = m \Rightarrow m = 2\).

Vậy tích các phần tử của \(S\) bằng 2 .