Cho khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}x} \right)^{14}} = {a_0} + {a_1}x +  \ldots  + {a_{13}}{x^{13}} + {a_{14}}{x^{14}}\). Tổng các giá trị của \(k\) thỏa mãn hệ số \({a_k}\left( {0 \le k \le 14} \right)\) là hệ số lớn nhất trong khai triển trên bằng (1) _____.

Đáp án

Cho khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}x} \right)^{14}} = {a_0} + {a_1}x +  \ldots  + {a_{13}}{x^{13}} + {a_{14}}{x^{14}}\). Tổng các giá trị của \(k\) thỏa mãn hệ số \({a_k}\left( {0 \le k \le 14} \right)\) là hệ số lớn nhất trong khai triển trên bằng (1) __19___.

Giải thích

Khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}x} \right)^{14}}\), ta có

\({\left( {\frac{1}{5} + \frac{2}{5}x} \right)^{14}} = \sum\limits_{k = 0}^{14} {C_{14}^k{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - k}}{{\left( {\frac{2}{5}x} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{14} {C_{14}^k{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - k}}{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^k}{x^k}} \).

Suy ra \({a_k} = C_{14}^k{\left( {\frac{1}{5}} \right)^{14 - k}}{\left( {\frac{2}{5}} \right)^k}\).

Giả sử \({a_k}\) là hệ số lớn nhất, khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_k} \ge {a_{k + 1}}}\\{{a_k} \ge {a_{k - 1}}}\end{array}} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C_{14}^k{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - k}}{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^k} \ge C_{14}^{k + 1}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - (k + 1)}}{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{k + 1}}}\\{C_{14}^k{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - k}}{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^k} \ge C_{14}^{k - 1}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^{14 - (k - 1)}}{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{k - 1}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{14 - k}} \ge \frac{2}{{k + 1}}}\\{\frac{2}{k} \ge \frac{1}{{14 - k + 1}}}\end{array}} \right.} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k \ge 9}\\{k \le 10}\end{array} \Leftrightarrow 9 \le k \le 10\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 9}\\{k = 10}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy tổng các giá trị của \(k\) thỏa mãn là 19.