Cho \(x\) và \(y\) thay đổi thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 1 = 0\).

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 3x + 2y + 1\) là 1 .
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(B = \frac{{x - 2y + 1}}{{x + y + 1}}\) là 4 .

Đáp án

Giải thích

Dễ thấy rằng điều kiện đã cho tương đương với \({(x - 1)^2} + \frac{{{{(y - 1)}^2}}}{{{2^2}}} = 1\).

Từ đó ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + {\rm{cos}}t}\\{y = 1 + 2{\rm{sin}}t}\end{array},t \in \left[ {0;2\pi } \right]} \right.\). Khi đó ta được \(A = 3{\rm{cos}}t + 4{\rm{sin}}t + 6\).

Vậy \({\rm{min}}\,\,A = 6 - \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 1,\,\,{\rm{max}}\,\,A = 6 + \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 11\).

Ta cũng có \(B = \frac{{{\rm{cos}}t - 4{\rm{sin}}t}}{{{\rm{cos}}t + 2{\rm{sin}}t + 3}}\). Dễ thấy \({\rm{cos}}t + 2{\rm{sin}}t + 3 > 0\) với mọi \(t\) nên \(B\) xác định với mọi \(t\).

Bây giờ gọi \(M\) là tập các giá trị của \(B\), thì \(m \in M\) khi và chỉ khi phương trình \(\frac{{{\rm{cos}}t - 4{\rm{sin}}t}}{{{\rm{cos}}t + 2{\rm{sin}}t + 3}} = m\) có nghiệm.

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( {m - 1} \right){\rm{cos}}t + 2\left( {m + 2} \right){\rm{sin}}t + 3m = 0\) có nghiệm.

\( \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + 4{(m + 2)^2} \ge 9{m^2} \Leftrightarrow \frac{{7 - 3\sqrt {13} }}{4} \le m \le \frac{{7 + 3\sqrt {13} }}{4}\).

Do đó \(M = \left[ {\frac{{7 - 3\sqrt {13} }}{4};\frac{{7 + 3\sqrt {13} }}{4}} \right]\).

Vậy \({\rm{min}}\,\,B = \frac{{7 - 3\sqrt {13} }}{4},{\rm{max}}\,\,B = \frac{{7 + 3\sqrt {13} }}{4}\).