Cho hình thang cân \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) có đáy bé \(AB = 1\), đáy lớn \(CD = 3\), khoảng cách giữa hai đáy bằng 1 . Nếu cho hình thang đó quay quanh \(AB\) ta được vật thể tròn xoay có thể tích bằng \({V_1}\), quay quanh \(CD\) ta được vật thể tròn xoay có thể tích bằng \({V_2}\), quay quanh \(BC\) ta được vật thể tròn xoay có thể tích bằng \({V_3}\).

Kéo số (kí hiệu) ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:

V1 = _______ π.

V2 = _______ π.

Trong các khối tròn xoay đó, thể tích của khối lớn nhất là _______.

Đáp án

V1 =\(\frac{7}{3}\) π.

V2 =\(\frac{5}{3}\) π.

Trong các khối tròn xoay đó, thể tích của khối lớn nhất là V3.

Giải thích

Dễ dàng tính được \(AD = BC = \sqrt 2 ,\widehat {ADC} = \widehat {BCD} = {45^ \circ },DH = HK = KC = 1\).

- Tính \({V_1}\) : Thể tích của khối tròn xoay bằng thể tích của khối trụ tròn xoay đường cao \(DC\), bán kính đường tròn đáy \(AH\) trừ đi thể tích khối nón tròn xoay chiều cao \(DH\), bán kính đường tròn đáy \(AH\) và khối nón tròn xoay chiều cao \(CK\), bán kính đường tròn đáy \(BK\).

Vậy \({V_1} = 3\pi {.1^2} - 2.\frac{1}{3}\pi {.1^2}.1 = \frac{7}{3}\pi \).

- Tính \({V_2}\) : Thể tích của khối tròn xoay bằng thể tích của khối trụ tròn xoay đường cao \(HK\), bán kính đường tròn đáy \(AH\) cộng với thể tích của khối nón tròn xoay chiều cao \(DH\), bán kính đường tròn đáy \(AH\) và khối nón tròn xoay chiều cao \(CK\) sán kính đường tròn đáy \(BK\).

Vậy \({V_2} = \pi {.1^2}.1 + 2.\frac{1}{3}\pi {.1^2}.1 = \frac{5}{3}\pi \).

- Tính \({V_3}\) :

Hai đường chéo \(AD\) và \(BC\) cắt nhau ở \(E\). Dễ thấy tam giác \(CDE\) vuông cân ở \(E\) nên thể tích khối tròn xoay bằng thể tích khối nón tròn xoay chiều cao \(CE\), bán kính đường tròn đáy \(DE\) trừ đi thể tích khối nón tròn xoay chiều cao \(BE\), bán kính đường tròn đáy \(AE\).

Tam giác \(CDE\) vuông cân ở \(E\) nên \(CE = DE = \frac{{CD}}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\).

\(AE = DE - AD = \frac{3}{{\sqrt 2 }} - \sqrt 2  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \({V_3} = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}.\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}} \right) - \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}.\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{13\sqrt 2 }}{6}\pi \).