Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {4;1;1} \right),C\left( {1;1;5} \right)\). Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là I((1) _________; (2) _________; (3) _________).

Đáp án

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {4;1;1} \right),C\left( {1;1;5} \right)\). Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là I((1) ____2_____; (2) _____1____; (3) ____2_____).

Giải thích

Công thức tính nhanh: Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Khi đó ta có

\(BC.\overrightarrow {IA}  + CA.\overrightarrow {IB}  + AB.\overrightarrow {IC}  = \vec 0\)

Áp dụng:

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\). Ta có: \(AB = 3;BC = 5;AC = 4\).

Khi đó, \(BC.\overrightarrow {IA}  + CA.\overrightarrow {IB}  + AB.\overrightarrow {IC}  = \vec 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA}  + 4\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \vec 0 \Leftrightarrow 12\overrightarrow {IA}  = 4\overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {CA} \)

\( \Leftrightarrow 12\overrightarrow {IA}  = \left( { - 12;0; - 12} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( { - 1;0; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - a =  - 1}\\{1 - b = 0}\\{1 - c =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 1}\\{c = 2}\end{array} \Leftrightarrow I\left( {2;1;2} \right)} \right.} \right.\)