Cho hai số thực \(x,y \ge 1\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}2\left( {x + y} \right)} \right| + \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}} \right| = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4xy + 1} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 2xy + \sqrt {x + 2y} - {x^2} - 4{y^2}\) bằng bao nhiêu?
Quảng cáo
Trả lời:

Giải thích
Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\), ta có:
\[\left| {{{\log }_2}2(x + y)} \right| + \left| {{{\log }_2}\frac{{2(x + y)}}{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}} \right| = \left| {{{\log }_2}(x + y) + 1} \right| + \left| {1 - {{\log }_2}\frac{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}{{x + y}}} \right|\]
\( = \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + y} \right) + 1} \right| + \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}{{x + y}} - 1} \right| \ge \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 4{y^2} + 1} \right)} \right| = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 4{y^2} + 1} \right)\)
Mặt khác theo bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) ta lại có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 4{y^2} + 1} \right) \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4xy + 1} \right) = VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {1 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}{{x + y}}} \right).\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + y} \right) + 1} \right] \ge 0}\\{x = 2y}\end{array}} \right.\).
Thế vào \(P\) ta được \(P = \sqrt {2x} - {x^2} = g\left( x \right)\). Vì \(x,y \ge 1\) và \(x = 2y\) nên ta xét \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2x} }} - 2x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2x} }} = 2x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) (Loại).
\( \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\) trên \(\left[ {2; + \infty } \right) \Rightarrow g\left( x \right)\) luôn nghịch biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = - 2\).
Chọn A
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải

Vì \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI \bot CD,CD = 2OI\).
Kẻ \(OH \bot SI\) tại \(H \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {O,SI} \right) = OH = 1\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SCD) \cap (ABCD) = CD}\\{SI \subset (SCD),SI \bot CD}\\{OI \subset (ABCD),OI \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow ((SCD),(ABCD)) = (SI,OI) = (SI,AD) = \widehat {SIO} = {45^^\circ }\)
Xét tam giác vuông \(HIO \Rightarrow OI = \frac{{OH}}{{{\rm{sin}}\widehat {SIO}}} = \frac{1}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \sqrt 2 \Rightarrow CD = 2OI = 2\sqrt 2 \).
Ta có \({\rm{\Delta }}SIO\) là tam giác vuông cân tại \(O \Rightarrow SO = OI = \sqrt 2 \).
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}C{D^2}.SO = \frac{1}{3}{(2\sqrt 2 )^2}.\sqrt 2 = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\).
Chọn D
Lời giải
Văn bản đã cung cấp thông tin “Các liên kết bền hơn cần được cung cấp nhiệt độ cao hơn để phá vỡ liên kết đó”.
Chọn A
Câu 3
A. Lắp đặt hệ thống mái che tại các khu vực công cộng.
B. Xây dựng hệ thống tự cân bằng nhiệt trên đường phố.
C. Thiết kế hệ thống mái che tự động tại trạm xe buýt.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Có bao nhiêu cách chia 100 chiếc kẹo giống nhau cho 12 em nhỏ sao cho mỗi em có ít nhất 8 chiếc kẹo?
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.