Câu hỏi:

31/10/2024 217 Lưu

Cho hai số thực \(x,y \ge 1\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}2\left( {x + y} \right)} \right| + \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{2\left( {x + y} \right)}}{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}} \right| = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4xy + 1} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 2xy + \sqrt {x + 2y} - {x^2} - 4{y^2}\) bằng bao nhiêu? 

A. -2 .
B. \( - \frac{1}{2}\). 
C. \( - \frac{4}{3}\). 
D. \(\frac{3}{4}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Giải thích

Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\), ta có:

\[\left| {{{\log }_2}2(x + y)} \right| + \left| {{{\log }_2}\frac{{2(x + y)}}{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}} \right| = \left| {{{\log }_2}(x + y) + 1} \right| + \left| {1 - {{\log }_2}\frac{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}{{x + y}}} \right|\]

\( = \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + y} \right) + 1} \right| + \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}{{x + y}} - 1} \right| \ge \left| {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 4{y^2} + 1} \right)} \right| = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 4{y^2} + 1} \right)\)

Mặt khác theo bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) ta lại có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} + 4{y^2} + 1} \right) \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4xy + 1} \right) = VP\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {1 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{{x^2} + 4{y^2} + 1}}{{x + y}}} \right).\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x + y} \right) + 1} \right] \ge 0}\\{x = 2y}\end{array}} \right.\).

Thế vào \(P\) ta được \(P = \sqrt {2x}  - {x^2} = g\left( x \right)\). Vì \(x,y \ge 1\) và \(x = 2y\) nên ta xét \(g\left( x \right)\) trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2x} }} - 2x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2x} }} = 2x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) (Loại).

\( \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\) trên \(\left[ {2; + \infty } \right) \Rightarrow g\left( x \right)\) luôn nghịch biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) =  - 2\).

 Chọn A

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) với \(O\) là tâm đáy. Khoảng cách từ \(O\) đến mặt bên bằng 1 và góc giữa mặt bên với đáy bằng \({45^ \circ }\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng 	A. \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\).	B. \(8\sqrt 2 \).	C. \(5\sqrt 3 \).	D. \(\frac{{8\sqrt 2 }}{3}\). (ảnh 1)

Vì \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI \bot CD,CD = 2OI\).

Kẻ \(OH \bot SI\) tại \(H \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {O,SI} \right) = OH = 1\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SCD) \cap (ABCD) = CD}\\{SI \subset (SCD),SI \bot CD}\\{OI \subset (ABCD),OI \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow ((SCD),(ABCD)) = (SI,OI) = (SI,AD) = \widehat {SIO} = {45^^\circ }\)

Xét tam giác vuông \(HIO \Rightarrow OI = \frac{{OH}}{{{\rm{sin}}\widehat {SIO}}} = \frac{1}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \sqrt 2  \Rightarrow CD = 2OI = 2\sqrt 2 \).

Ta có \({\rm{\Delta }}SIO\) là tam giác vuông cân tại \(O \Rightarrow SO = OI = \sqrt 2 \).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}C{D^2}.SO = \frac{1}{3}{(2\sqrt 2 )^2}.\sqrt 2  = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\).

 Chọn D

Lời giải

Văn bản đã cung cấp thông tin “Các liên kết bền hơn cần được cung cấp nhiệt độ cao hơn để phá vỡ liên kết đó”.

 Chọn A

Câu 3

A. Lắp đặt hệ thống mái che tại các khu vực công cộng.

B. Xây dựng hệ thống tự cân bằng nhiệt trên đường phố.

C. Thiết kế hệ thống mái che tự động tại trạm xe buýt.

D. Trồng thật nhiều cây xanh trên các tuyến phố chính.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP