Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật với \(AB = 2a,BC = a\), tam giác đều \(SAB\) nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	Đúng	Sai
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua điểm \(S\) song song với \(AB\).
Khoảng cách giữa \(BC\) và SD bằng \[a\sqrt 3 \].

Đáp án

Giải thích

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB//CD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{AB \subset (SAB)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{CD \subset (SCD)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{S \in (SAB) \cap (SCD)}\end{array}} \right.\]

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\) thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(BC//\left( {SAD} \right)\) nên \(d\left( {BC,SD} \right) = d\left( {BC,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(SA\) thì \(BI \bot SA\) thì \(BI \bot \left( {SAD} \right)\) (do \(AD \bot \left( {SAB} \right) \supset BI\)).

Suy ra \(d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right) = BI = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).