Tại một cuộc thi có thí sinh. Biết rằng, hai thí sinh bất kì hoặc quen nhau hoặc không quen nhau, và không có ba thí sinh nào đôi một quen nhau. Xác định giá trị lớn nhất của (nhập đáp án vào ô trống) sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn:

• Mỗi thí sinh quen tối đa thí sinh khác và có ít nhất một thí sinh quen đúng thí sinh khác.

• Với mọi số nguyên dương mà , tồn tại ít nhất thí sinh quen đúng thí sinh khác.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 7) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trước hết ta chứng minh . Giả sử thỏa mãn các điều kiện của đề bài. Khi đó mỗi thí sinh quen biết với thí sinh khác. Gọi là tập hợp thí sinh này. Theo giả thiết thì tồn tại các thí sinh quen đúng thí sinh khác.

Ta nói một thí sinh có bậc nếu người ấy quen đúng thí sinh khác. Ta có quen với tất cả thí sinh trong tập . Mà trong người luôn tồn tại ít nhất người không quen nhau, nên thí sinh bất kỳ trong tập đều không quen nhau. Do đó mỗi phần tử của có bậc tối đa là .

Từ đó suy ra mỗi phần tử trong tập xác định tối đa bậc phân biệt (từ đến ). Mặt khác, có người khác ngoài cho nên tổng số bậc tối đa của thí sinh là (mâu thuẫn). Vậy .

Bây giờ ta sẽ đi xây dựng một trường hợp thỏa mãn . Thật vậy, kí hiệu là thí sinh loại , kí hiệu là thí sinh còn lại và gọi họ là các thí sinh loại . Giả sử rằng: