Câu hỏi:

04/11/2024 214

Tại một cuộc thi có thí sinh. Biết rằng, hai thí sinh bất kì hoặc quen nhau hoặc không quen nhau, và không có ba thí sinh nào đôi một quen nhau. Xác định giá trị lớn nhất của (nhập đáp án vào ô trống) sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn:

• Mỗi thí sinh quen tối đa thí sinh khác và có ít nhất một thí sinh quen đúng thí sinh khác.

• Với mọi số nguyên dương mà , tồn tại ít nhất thí sinh quen đúng thí sinh khác.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 7) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Trước hết ta chứng minh . Giả sử thỏa mãn các điều kiện của đề bài. Khi đó mỗi thí sinh quen biết với thí sinh khác. Gọi là tập hợp thí sinh này. Theo giả thiết thì tồn tại các thí sinh quen đúng thí sinh khác.

Ta nói một thí sinh có bậc nếu người ấy quen đúng thí sinh khác. Ta có quen với tất cả thí sinh trong tập . Mà trong người luôn tồn tại ít nhất người không quen nhau, nên thí sinh bất kỳ trong tập đều không quen nhau. Do đó mỗi phần tử của có bậc tối đa là .

Từ đó suy ra mỗi phần tử trong tập xác định tối đa bậc phân biệt (từ đến ). Mặt khác, có người khác ngoài cho nên tổng số bậc tối đa của thí sinh là (mâu thuẫn). Vậy .

Bây giờ ta sẽ đi xây dựng một trường hợp thỏa mãn . Thật vậy, kí hiệu là thí sinh loại , kí hiệu là thí sinh còn lại và gọi họ là các thí sinh loại . Giả sử rằng:

(1) Với mỗi , quen biết với khi và chỉ khi .

(2) Hai thí sinh cùng loại bất kỳ đều không quen nhau.

• Từ điều kiện (2) thì cứ thí sinh bất kỳ, có ít nhất em không quen nhau.

• Từ (1) thì mỗi thí sinh quen đúng với đúng thí sinh khác. Do đó có những thí sinh quen đúng thí sinh khác.

• Từ điều kiện (1) thì với mỗi , quen đúng với thí sinh khác, tức là có những thí sinh quen với đúng thí sinh khác.

• Theo lập luận trên thí mỗi thí sinh quen với tối đa thí sinh khác.

Vậy là giá trị lớn nhất thỏa mãn đề bài.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một bình đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, sau khi lấy lần thứ nhất ta để lại viên bi vào bình rồi mới lấy tiếp lần thứ hai. Xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen là:

Lời giải

Gọi là biến cố: “Lần thứ nhất lấy được bi màu trắng”.

Gọi là biến cố: “Lần thứ hai lấy được bi màu đen”.

Suy ra là biến cố: “Lần thứ nhất lấy được bi màu trắng và lần thứ hai lấy được bi màu đen”.

Vì sau khi lấy viên bi thứ nhất xong, ta để lại viên bi vào bình, nên không làm ảnh hưởng xác suất lấy viên bi lần thứ hai. Ta thấy 2 biến cố và độc lập với nhau.

Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi màu trắng là: .

Xác suất để lần thứ hai lấy được bi màu đen là: .

Áp dụng quy tắc nhân xác suất, xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen là:

. Chọn B.

Câu 2

Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh tại trường . Nhóm này có học sinh là nam. Kết quả khảo sát cho thấy có học sinh nam và học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm này. Tính xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ (nhập đáp án vào ô trống, viết kết quả dưới dạng số thập phân).

Xem đáp án

Lời giải

Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm.

Gọi là biến cố “Chọn được một học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ” và lần lượt là các biến cố “Chọn được một học sinh nam” và “Chọn được một học sinh nữ”.