Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = 2BC\) và \(\widehat {BAC} = {120^ \circ }\). Hình chiếu của \(A\) trên các đoạn \(SB,SC\) lần lượt là \(M,N\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AMN} \right)\). 

Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^ \circ }\).

Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AB}\\{BD \bot SA}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAB} \right)} \right.\) hay \(BD \bot AM\) và \(AM \bot SB\), từ đó ta có \(AM \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AM \bot SD\).

Chứng minh tương tự ta có \(AN \bot SD\). Từ đó suy ra \(SD \bot \left( {AMN} \right)\), mà \(SA \bot \left( {ABC} \right)\).

Suy ra \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {AMN} \right)} \right) = \left( {SA,SD} \right) = \widehat {DSA}\).

Ta có \(BC = 2R{\rm{sin}}A = AD.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = 2BC = AD\sqrt 3 \).

Vậy tan \(\widehat {ASD} = \frac{{AD}}{{SA}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ASD} = {30^ \circ }\).

 Chọn C