Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình\(\left( {m - 1} \right){\rm{log}}_{\frac{1}{3}}^2\left( {x - 1} \right) + m\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 1} \right) - 5} \right] = - 3\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {10;82} \right]\)? 

Giải thích

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\left( {m - 1} \right){\rm{log}}_3^2\left( {x - 1} \right) + m{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 1} \right) - 5m + 3 = 0\) (1).

Đặt \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 1} \right) = t\). Do \(x \in \left[ {10;82} \right]\) suy ra \(t \in \left[ {2;4} \right]\).

Phương trình (1) trở thành: \(\left( {m - 1} \right){t^2} + mt - 5m + 3 = 0,t \in \left[ {2;4} \right]\) (2)

\( \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} - 3}}{{{t^2} + t - 5}} = f\left( t \right)\left( {} \right.\) vì \(t \in \left[ {2;4} \right]\) nên \(\left. {{t^2} + t - 5 \ne 0} \right)\)

\(f'\left( t \right) = \frac{{{t^2} - 4t + 3}}{{{{\left( {{t^2} + t - 5} \right)}^2}}},f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 4t + 3}}{{{{\left( {{t^2} + t - 5} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3(\)vì \(t \in \left[ {2;4} \right]\)).

\(f\left( t \right)\) luôn xác định với mọi \(t \in \left[ {2;4} \right]\).

Ta có: \(f\left( 2 \right) = 1,f\left( 3 \right) = \frac{6}{7},f\left( 4 \right) = \frac{{13}}{{15}}\).

Do đó \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = \frac{6}{7},\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = 1\).

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {10;82} \right]\) khi phương trình (2) có nghiệm \(t \in \left[ {2;4} \right]\) nên với

\(m \in \left[ {\frac{6}{7};1} \right]\) thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {10;82} \right]\). Mà \(m\) là số nguyên nên \(m = 1\).

 Chọn D