Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(E\left( {2;1;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu\(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng đi qua \(E\), nằm trong \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) có khoảng cách nhỏ nhất. Biết \({\rm{\Delta }}\) có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2023;{y_0};{z_0}} \right)\).
Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau
Giá trị của \({y_0}\) bằng _______.
Giá trị của \({z_0}\) bằng _______.
Khoảng cách \(AB\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt a \) với \(a\) bằng _______.
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(E\left( {2;1;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu\(\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường thẳng đi qua \(E\), nằm trong \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) có khoảng cách nhỏ nhất. Biết \({\rm{\Delta }}\) có một vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2023;{y_0};{z_0}} \right)\).
Giá trị của \({y_0}\) bằng _______.
Giá trị của \({z_0}\) bằng _______.
Khoảng cách \(AB\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt a \) với \(a\) bằng _______.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án
Giá trị của \({y_0}\) bằng -2023.
Giá trị của \({z_0}\) bằng 0.
Khoảng cách \(AB\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt a \) với \(a\) bằng 30.
Giải thích
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 1} \right)\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;2;5} \right)\) và bán kính \(R = 6 \Rightarrow \overrightarrow {EI} = \left( {1;1;2} \right)\)
\( \Rightarrow IE = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt 6 < R \Rightarrow \) điểm \(E\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right),A\) và \(B\) là hai giao điểm của \({\rm{\Delta }}\) với \(\left( S \right)\).
Khi đó, \(AB\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d{(H;AB)_{{\rm{max}}}} \Leftrightarrow AB \bot HE\), mà \(AB \bot IH\) nên \(AB \bot \left( {HIE} \right) \Rightarrow AB \bot IE\).
Suy ra \(\overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {EI} } \right] = \left( {5; - 5;0} \right)\parallel \left( {1; - 1;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({\rm{\Delta }}\).
Suy ra \(\vec u = \left( {2023; - 2023;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({\rm{\Delta }}\), do đó \({y_0} = - 2023,{z_0} = 0\).
Ta có: \(IH = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 2.2 - 5 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{3}\).
\(\Delta IHE\) vuông tại \(H:HE = \sqrt {I{E^2} - I{H^2}} = \sqrt {6 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\).
\({\rm{\Delta }}IHB\) vuông tại \(H:HB = \sqrt {I{B^2} - I{H^2}} = \sqrt {36 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{8\sqrt 5 }}{3}\).
\(\Delta HEB\) vuông tại \(E:BE = \sqrt {H{B^2} - H{E^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{8\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {30} \).
\( \Rightarrow AB = 2BE = 2\sqrt {30} \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: “200/3”
Giải thích
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ với trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng.
Khi đó Parabol có phương trình dạng \(y = a{x^2} + c\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua đỉnh \(I\left( {0;12,5} \right)\) nên ta có \(c = 12,5\).
\(\left( P \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm \(A\left( { - 4;0} \right)\) và \(B\left( {4;0} \right)\) nên ta có \(0 = 16a + c \Rightarrow a = \frac{{ - c}}{{16}} = - \frac{{25}}{{32}}\).
Do đó \(\left( P \right):y = - \frac{{25}}{{32}}{x^2} + 12,5\).
Diện tích của cổng là: \(S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left( { - \frac{{25}}{{32}}{x^2} + 12,5} \right)dx = \frac{{200}}{3}\left( {{m^2}} \right)} \).
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Theo phần dẫn, ta có: Nước có thể tích xác định là do lực tương tác giữa các phân tử nước là lực hút.
Chọn B
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập