Cho phương trình \({x^4} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + 2{m^2} + m = 0\) (với \(m\) là tham số).

Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Với mọi \(m\), phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì \(m > 0\).
Với \(m = \frac{1}{7}\) thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

Đáp án

Giải thích

Ta có \({x^4} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + 2{m^2} + m = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - m} \right)\left( {{x^2} - 2m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = m}\\{{x^2} = 2m + 1}\end{array}} \right.\)

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì \(\left[ \begin{array}{l}m > 0\\2m + 1 > 0\\m \ne 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó phương trình có 4 nghiệm là \( - \sqrt m ,\sqrt m , - \sqrt {2m + 1} ,\sqrt {2m + 1} \).

Do \(m > 0\) nên \(2m + 1 > m\) do đó \( - \sqrt {2m + 1}  <  - \sqrt m  < \sqrt m  < \sqrt {2m + 1} \). Để 4 nghiệm này tạo thành một cấp số cộng thì \(2\sqrt m  = \sqrt {2m + 1}  - \sqrt m  \Leftrightarrow m = \frac{1}{7}\) (thỏa mãn).