Câu hỏi:

10/11/2024 329

Cho 2 số dương \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} \ge 1\) và \({x^2} + 2{y^2} - 1 = {\rm{ln}}\left( {\frac{{1 - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{{y^2}}} + \frac{{4\sqrt 2 y}}{{{x^2} + {y^2}}}\) là \(m\sqrt n \) với \(m,n\) là 2 số nguyên dương. Có bao nhiêu bộ số \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn?

Đáp án chính xác

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Giải thích

Ta có: \({x^2} + 2{y^2} - 1 = {\rm{ln}}\left( {\frac{{1 - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ln}}\left( {1 - {y^2}} \right) + \left( {1 - {y^2}} \right) = {\rm{ln}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{ln}}x + x{\rm{\;}}(x > 0)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} + 1 > 0,\forall x > 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) (2).

Theo (1) ta có: \(f\left( {1 - {y^2}} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) kết hợp với (2) suy ra \(1 - {y^2} = {x^2} + {y^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} = 1\).

Sử dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) đối với các số dương, ta có:

\(\frac{{{x^4}}}{{{x^2}.{y^2}.{y^2}}} \ge \frac{{{x^4}}}{{\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {y^2}} \right)}^3}}}{{27}}}} = \frac{{{x^4}}}{{\frac{1}{{27}}}} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{y^4}}} \ge 27{x^4} \Rightarrow \frac{x}{{{y^2}}} \ge 3\sqrt 3 {x^2}\).

\(\frac{{16{y^4}}}{{2{y^2}.\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} \ge \frac{{16{y^4}}}{{\frac{{{{\left( {2{y^2} + {x^2} + {x^2} + {y^2} + {y^2}} \right)}^3}}}{{27}}}} = \frac{{16{y^4}}}{{\frac{{{2^3}}}{{27}}}} \Rightarrow \frac{{16{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}} \ge 54{y^4} \Rightarrow \frac{{4y}}{{{x^2} + {y^2}}} \ge 3\sqrt 6 {y^2}\)

\( \Rightarrow \frac{x}{{{y^2}}} + \sqrt 2 .\frac{{4y}}{{{x^2} + {y^2}}} \ge 3\sqrt 3 {x^2} + 6\sqrt 3 {y^2}\)

\( \Leftrightarrow P \ge 3\sqrt 3 \left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = 3\sqrt 3  = 1.\sqrt {27} \).

Vậy có 2 bộ số \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn.

 Chọn C

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Lực liên kết giữa các phân tử nước là 

Xem đáp án » 04/07/2024 5,416

Câu 2:

Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng \(8m\), chiều cao 12,5 m.  Diện tích của cổng là (1) ________\({m^2}\).

Xem đáp án » 10/11/2024 3,775

Câu 3:

Phát biểu sau đây đúng hay sai? 

Phản ứng với dung dịch NaOH chứng minh nhóm chức -OH phenol có lực axit mạnh hơn nhóm chức -OH ancol.

Xem đáp án » 04/07/2024 2,331

Câu 4:

Các mẫu dịch có môi trường acid là 

Xem đáp án » 04/07/2024 1,523

Câu 5:

Cho đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 4) thỏa mãn đa giác có số đường chéo bằng số cạnh. Biết 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh của đa giác không đồng quy. Số giao điểm (không kể đỉnh) của các đường chéo là 

Xem đáp án » 10/11/2024 1,229

Câu 6:

Phát biểu nào sau đây là đúng khi nói về đặc điểm của ánh sáng khả kiến? 

Xem đáp án » 04/07/2024 1,051

Câu 7:

Phần tư duy đọc hiểu
Nội dung chính của bài viết là: 

Xem đáp án » 04/07/2024 752