Câu hỏi:
10/11/2024 461
Cho 2 số dương \(x,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} \ge 1\) và \({x^2} + 2{y^2} - 1 = {\rm{ln}}\left( {\frac{{1 - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{{y^2}}} + \frac{{4\sqrt 2 y}}{{{x^2} + {y^2}}}\) là \(m\sqrt n \) với \(m,n\) là 2 số nguyên dương. Có bao nhiêu bộ số \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn?
Đáp án chính xác
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Giải thích
Ta có: \({x^2} + 2{y^2} - 1 = {\rm{ln}}\left( {\frac{{1 - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ln}}\left( {1 - {y^2}} \right) + \left( {1 - {y^2}} \right) = {\rm{ln}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{ln}}x + x{\rm{\;}}(x > 0)\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{1}{x} + 1 > 0,\forall x > 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) (2).
Theo (1) ta có: \(f\left( {1 - {y^2}} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) kết hợp với (2) suy ra \(1 - {y^2} = {x^2} + {y^2} \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} = 1\).
Sử dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\) đối với các số dương, ta có:
\(\frac{{{x^4}}}{{{x^2}.{y^2}.{y^2}}} \ge \frac{{{x^4}}}{{\frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {y^2}} \right)}^3}}}{{27}}}} = \frac{{{x^4}}}{{\frac{1}{{27}}}} \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{y^4}}} \ge 27{x^4} \Rightarrow \frac{x}{{{y^2}}} \ge 3\sqrt 3 {x^2}\).
\(\frac{{16{y^4}}}{{2{y^2}.\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} \ge \frac{{16{y^4}}}{{\frac{{{{\left( {2{y^2} + {x^2} + {x^2} + {y^2} + {y^2}} \right)}^3}}}{{27}}}} = \frac{{16{y^4}}}{{\frac{{{2^3}}}{{27}}}} \Rightarrow \frac{{16{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}} \ge 54{y^4} \Rightarrow \frac{{4y}}{{{x^2} + {y^2}}} \ge 3\sqrt 6 {y^2}\)
\( \Rightarrow \frac{x}{{{y^2}}} + \sqrt 2 .\frac{{4y}}{{{x^2} + {y^2}}} \ge 3\sqrt 3 {x^2} + 6\sqrt 3 {y^2}\)
\( \Leftrightarrow P \ge 3\sqrt 3 \left( {{x^2} + 2{y^2}} \right) = 3\sqrt 3 = 1.\sqrt {27} \).
Vậy có 2 bộ số \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn.
Chọn C
Nhà sách vietjack
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng \(8m\), chiều cao 12,5 m. Diện tích của cổng là (1) ________\({m^2}\).
Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng \(8m\), chiều cao 12,5 m. Diện tích của cổng là (1) ________\({m^2}\).
Xem đáp án »
10/11/2024
4,487
Câu 3:
Phát biểu sau đây đúng hay sai?
Phản ứng với dung dịch NaOH chứng minh nhóm chức -OH phenol có lực axit mạnh hơn nhóm chức -OH ancol.
Phát biểu sau đây đúng hay sai?
Phản ứng với dung dịch NaOH chứng minh nhóm chức -OH phenol có lực axit mạnh hơn nhóm chức -OH ancol.
Xem đáp án »
04/07/2024
2,545
Câu 4:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, biết \(AB = 2a,AD = a,SA = 3a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(CD\), điểm \(E \in SA\) sao cho \(SE = a\).
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
Phát biểu
ĐÚNG
SAI
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BME} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt {70} }}{7}\).
Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {BME} \right)\) bằng \(\frac{1}{{\sqrt {15} }}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, biết \(AB = 2a,AD = a,SA = 3a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(CD\), điểm \(E \in SA\) sao cho \(SE = a\).
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
|
Phát biểu |
ĐÚNG |
SAI |
|
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {BME} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt {70} }}{7}\). |
||
|
Cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {BME} \right)\) bằng \(\frac{1}{{\sqrt {15} }}\). |
Xem đáp án »
10/11/2024
1,847
Câu 5:
Cho đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 4) thỏa mãn đa giác có số đường chéo bằng số cạnh. Biết 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh của đa giác không đồng quy. Số giao điểm (không kể đỉnh) của các đường chéo là
Xem đáp án »
10/11/2024
1,739
Câu 7:
Phát biểu nào sau đây là đúng khi nói về đặc điểm của ánh sáng khả kiến?
Xem đáp án »
04/07/2024
1,133
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 24)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 4)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 15)
-
ĐGTD ĐH Bách khoa - Đọc hiểu chủ đề môi trường - Đề 1
-
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 3)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận