Cho hàm số \(y = \frac{{1 - m{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x + 2}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ {0;10} \right]\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -2 ? 

Giải thích

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y = \frac{{1 - m{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x + 2}} \Leftrightarrow y{\rm{cos}}x + m{\rm{sin}}x = 1 - 2y\).

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: \({y^2} + {m^2} \ge 1 - 4y + 4{y^2} \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y + 1 - {m^2} \le 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2 - \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} \le y \le \frac{{2 + \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3}\).

Theo đề bài, ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} y = \frac{{2 - \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} <  - 2}\\{m \in [0;10]}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {1 + 3{m^2}}  > 8}\\{m \in [0;10]}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} > 63}\\{m \in [0;10]}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} > 21}\\{m \in [0;10]}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow m \in \left\{ {5,6,7,8,9,10} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Chọn D