Cho một lưới ô vuông \(4 \times 4\). Điền vào mỗi ô vuông một trong hai số 1 hoặc -1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0 . Có (1) ________ cách điền như vậy.

Đáp án: “90”

Giải thích

Để tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0 thì trên mỗi hàng, mỗi cột phải có hai số 1 và hai số -1 .

Ta sẽ xếp theo hàng.

Ta có các khả năng của các hàng như sau:

(1) \(1,1, - 1, - 1\)

(2) \( - 1, - 1,1,1\)

(3) \(1, - 1, - 1,1\)

(4) \( - 1,1,1, - 1\)

(5) \( - 1,1, - 1,1\)

(6) \(1, - 1,1, - 1\)

Hàng 1 ta điền một hàng bất kì, giả sử hàng 1 ta điền bộ (1). Ta có các trường hợp sau:

TH1. Hàng 2 điền bộ (1), khi đó hàng 3 , hàng 4 ta phải điền bộ (2).

TH2. Hàng 2 điền bộ để tổng 2 số trong tất cả các cột của hàng 1 và 2 bằng 0 , khi đó ta điền bộ (2). Hàng 3 và hàng 4 khi đó cũng phải điền sao cho tổng các cột trong hai hàng bằng 0 . Ta có \(6.1 = 6\) cách điền như vậy.

TH3. Hàng 2 điền bộ để tổng 2 cột trong 4 cột của hàng 1 và 2 bằng 0 . Ta có 4 cách điền (trừ bộ (1), (2)). Khi đó điền hàng 3 có 2 cách, điền hàng 4 có 1 cách.

Vậy có \(6.\left( {1 + 6 + 4.2.1} \right) = 90\) cách.