Phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}x}} + x} \right) = \frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}{x^2}\) có bao nhiêu nghiệm? 

Giải thích

Điều kiện \(x > 0\).

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}x}} + x} \right) = \frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}{x^2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}x}} + x} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}x\).

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}x \Rightarrow x = {6^t}\) ta được phương trình

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{3^t} + {6^t}} \right) = t \Leftrightarrow {3^t} + {6^t} = {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} + {3^t} = 1{\rm{\;}}\left( {\rm{*}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} + {3^t}\)

\(f'\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{3}{2} + {3^t}{\rm{ln}}3 > 0\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) trở thành \(f\left( t \right) = f\left( { - 1} \right)\) mà \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(\left( {\rm{*}} \right)\) có nghiệm duy nhất \(t =  - 1\).

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm \(x = {6^{ - 1}} = \frac{1}{6}\).

 Chọn B