Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) đồng thời thỏa mãn điều kiện sau: \({x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 4x - 4}}{x},\forall x \ne 0,x \ne 1\). Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) có giá trị bằng bao nhiêu? 

Giải thích

Cách 1:

Từ giả thiết suy ra \(f\left( {1 - x} \right) + \frac{2}{{{x^2}}}f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 4x - 4}}{{{x^3}}}\)

Cách 2:

Ta có: \({x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3} + 4x - 4}}{x},\forall x \ne 0,x \ne 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = \frac{{ - {x^4} + {x^3}}}{x} + \frac{{4x - 4}}{x},\forall x \ne 0,x \ne 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2}f\left( {1 - x} \right) + 2f\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right) = {x^2}\left( {1 - x} \right) + 2\left( {\frac{{2x - 2}}{x}} \right),\forall x \ne 0,x \ne 1\)

Chọn $f\left(x\right)=x\Rightarrow {{\int }^{\text{}}}_{-1}^{1}f\left(x\right).\text{d}x={{\int }^{\text{}}}_{-1}^{1}x.\text{d}x=0$

 Chọn D