Trên một vùng đồng bằng có hai khu đô thị \(A\) và \(B\) nằm cùng về một phía đối với con đường sắt \(d\) (như hình vẽ). Tại vị trí \(C\) trên \(d\), người ta xây dựng một nhà ga sao cho tổng các khoảng cách từ \(C\) đến hai khu đô thị đó là ngắn nhất. Khi đó khoảng cách từ \(C\) đến khu đô thị \(A\) là (1) ______ km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: “28,28”

Giải thích

Giả sử đã tìm được điểm \(C \in d\).

Gọi \(A'\) là ảnh của \(A\) qua phép đối xứng trục \(d\).

Khi đó \(AC = A'C\), do đó \(AC + BC = A'C + BC \ge A'B\)

\( \Rightarrow {\rm{min}}\left( {AC + BC} \right) = A'B\), dấu " =" xảy ra khi \(A',B,C\) thẳng hàng.

Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(B,A\) trên \(d\). Đặt hình vẽ vào hệ trục tọa độ với gốc tọa độ \(O \equiv C,Ox \equiv d\) (hoành độ điểm \(A\) dương), 1 đơn vị trên mỗi trục là \(1{\rm{\;km}}\).

Khi đó \(A\left( {x; - 20} \right) \Rightarrow A'\left( {x;20} \right)\) với \(x = CK{\rm{\;}}(0 < x < 50)\).

\(B\left( { - \left| {50 - x} \right|; - 30} \right) \Rightarrow B\left( {x - 50; - 30} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {CA'}  = \left( {x;20} \right),\overrightarrow {CB}  = \left( {x - 50; - 30} \right)\).

Vì \(A',C,B\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {CA'} ,\overrightarrow {CB} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{x}{{x - 50}} = \frac{{20}}{{ - 30}} \Leftrightarrow x = 20\left( {{\rm{tm}}} \right)\)

\( \Rightarrow A\left( {20; - 20} \right) \Rightarrow CA = 20\sqrt 2  \approx 28,28\).

Vậy khoảng cách từ \(C\) đến khu đô thị \(A\) là \(28,28{\rm{\;km}}\) để tổng các khoảng cách từ \(C\) đến hai khu đô thị \(A,B\) là ngắn nhất.