Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm \(BC\). Cho biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Khoảng cách giữa \(A'B'\) và \(BC\) bằng \(\frac{{3a}}{4}\).
Khoảng cách từ \(A'\) đến \({\rm{mp}}\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \(\frac{{3a\sqrt {14} }}{7}\).

Đáp án

Giải thích

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\), theo giả thiết \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\).

Vì  là tam giác đều nên \(AH \bot BC\). Vậy \(BC \bot \left( {A'AH} \right) \Rightarrow BC \bot AA'\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB,N\) là trung điểm \(MB\). Ta có \(CM \bot AB,NH\) là đường trung bình  nên \(HN//CM \Rightarrow HN \bot AB\). Mà góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {A'NH} = {60^ \circ }\).

Ta có \(HN = \frac{1}{2}CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow A'H = NH.{\rm{tan}}{60^ \circ } = \frac{{3a}}{4}\).

Vì \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(A'H \bot BC\), mặt khác \(A'H \bot \left( {A'B'C'} \right)\) nên \(A'H \bot A'B'\)

\( \Rightarrow d\left( {A'B',BC} \right) = A'H = \frac{{3a}}{4}\).

Trong mặt phẳng \(\left( {A'AH} \right)\), kẻ \(HK \bot AA'\) tại \(K\). Ta thấy \(HK \bot AA'\) mà \(AA'//BB' \Rightarrow HK \bot BB'\), \(HK \bot BC\) nên \(HK \bot \left( {BCC'B'} \right)\).

Vì \(AA'//BB'\) nên \(d\left( {A';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {K;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = HK\).

Trong \({\rm{\Delta }}A'AH\) có \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};A'H = \frac{{3a}}{4}\) nên \(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{A'{H^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{{16}}{{9{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{28}}{{9{a^2}}}\)

\( \Rightarrow HK = \frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}\).