Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tọa độ các điểm \(A\left( { - 2;2;6} \right),B\left( { - 3;1;8} \right),C\left( { - 1;0;7} \right),D\left( {1;2;3} \right)\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\) và \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(S\left( {a;b;c} \right)\) (với \(a,b,c\) là các giá trị dương) là điểm thỏa mãn thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{{27}}{2}\) (đvtt). Tổng giá trị của \(a + b + c\) bằng

Giải thích

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3;3;3} \right) \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Lại có: \(\overrightarrow {DC}  = \left( { - 2; - 2;4} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow ABCD\) là hình thang và \({S_{ABCD}} = 3{S_{ABC}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\).

Vì \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} \Rightarrow SH = 3\sqrt 3 \)

Lại có \(H\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow H\left( {0;1;5} \right)\)

Gọi \(S\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SH}  = \left( { - a;1 - b;5 - c} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SH}  = k\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = k\left( {3;3;3} \right) = \left( {3k;3k;3k} \right)\)

Suy ra \(3\sqrt 3  = \sqrt {9{k^2} + 9{k^2} + 9{k^2}}  \Rightarrow k =  \pm 1\)

+) Với \(k = 1 \Rightarrow \overrightarrow {SH}  = \left( {3;3;3} \right) \Rightarrow {S_1}\left( { - 3; - 2;2} \right)\)

+) Với \(k =  - 1 \Rightarrow \overrightarrow {SH}  = \left( { - 3; - 3; - 3} \right) \Rightarrow {S_2}\left( {3;4;8} \right)\)

\( \Rightarrow a = 3;b = 4;c = 8 \Rightarrow a + b - c =  - 1\).

 Chọn C