Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Bác Nam mua một thùng trái cây nặng gồm hai loại là táo và xoài. Biết táo có giá đồng/kg, xoài có giá đồng/kg và giá tiền của thùng trái cây là đồng. Hỏi bác mua bao nhiêu kg táo và xoài mỗi loại?

Chiều cao của tòa tháp chính là độ dài đoạn .

Xét tam giác  vuông tại , ta có:

Xét tam giác  vuông tại , ta có:

Suy ra

Vận tốc trung bình của chiếc người đó khoảng:

Vậy vận tốc trung bình của người đó là khoảng .

Xét tam giác \(SBC\), kẻ đường cao \(SH \bot BC\) tại \(H\).

Do tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SH\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác, suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Suy ra \(BH = HC = \frac{{BC}}{2} = x{\rm{ (cm) }}\left( {0 < x < 16} \right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}\)

Suy ra \(S{H^2} = {16^2} - {x^2} = 256 - {x^2}.\)

Do đó \(SH = \sqrt {256 - {x^2}} {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Diện tích tam giác \(SBC\) là \(\frac{1}{2}SH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {256 - {x^2}} \cdot 2x = x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích giấy màu cần sử dụng là \(S = 4x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

⦁ Yêu cầu bài toán đưa về thực hiện tìm giá trị lớn nhất của \(S = 4x\sqrt {256 - {x^2}} {\rm{ }}\)với \(0 < x < 16\).

Ta có: \(4x\sqrt {256 - {x^2}} = 4\sqrt {256{x^2} - {x^4}} \)

                                \( = 4\sqrt { - \left( {{x^4} - 2 \cdot 128{x^2} + {{128}^2}} \right) + {{128}^2}} \)

                                \( = 4\sqrt { - {{\left( {{x^2} - 128} \right)}^2} + {{128}^2}} \le 4\sqrt {{{128}^2}} = 512\)

Do đó, \(S \le 512\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} - 128 = 0\) hay \(x = 8\sqrt 2 \) (do \(0 < x < 16)\).

Khi đó, độ dài cạnh đáy của phần mái là \(16\sqrt 2 {\rm{ cm}}.\)

Vậy diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là \(512{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\) khi độ dài cạnh đáy của phần mái là \(16\sqrt 2 {\rm{ cm}}.\)