Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ với $x > - 1$ mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm $I\left( { - 1; - 1} \right)$, biết hoành độ điểm $M$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$ mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là ${x_0} = \frac{1}{{\sqrt[n]{a}}} - b$ (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức $P = a \cdot n + b$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $M \in \left( C \right)$ $ \Rightarrow M\left( {{x_0};{x_0} + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)$ với ${x_0} > - 1$.

Ta có $I{M^2} = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_0} + 1 + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)^2} = 2{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + 2$.

Đặt $t = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2},t > 0$ thì khi đó $I{M^2} = 2t + 2 + \frac{1}{t}$.

Xét hàm số $y = 2t + 2 + \frac{1}{t}$ có $y' = 2 - \frac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Bảng biến thiên

$Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ với $x > - 1$ (ảnh 1)$

Để thuyền thu được sóng tốt nhất $ \Leftrightarrow IM$ ngắn nhất $ \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - 1$.

Vậy $n = 4;a = 2;b = 1 \Rightarrow a \cdot n + b = 9$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}$ (với tham số $m$). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Khi $m = 1$ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Khi $m = 1$ thì trên đoạn $\left[ {1;4} \right]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$.

c) $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Có 1 giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ bằng $ - 1$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne m$.

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;m} \right)$ và $\left( {m; + \infty } \right)$.

Vậy khi $m = 1$ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Bảng biến thiên

$Cho hàm số $y = {x - {m^2} - 2{x - m}}$ (với tham số $m$). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: (ảnh 1)$

Với $m = 1$ thì giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( 4 \right) = \frac{1}{3}$.

c) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} = 1$.

Suy ra $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ bằng $ - 1$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + m - 6 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m = 2,m = - 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow m = - 3$.

Câu 2

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

$Cho hàm số $y = f x ) xác định và liên tục trên \({R}$ có bảng biến thiên như hình (ảnh 1)$

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

b) Hàm số $g\left( x \right) = 2x - 3f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

c) $f\left( {{{\sin }^2}x} \right) < f\left( {\frac{3}{2}} \right)$.

d) Hàm số $y = f\left( {2 - 3x} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

b) Ta có $g'\left( x \right) = 2 - 3f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)$, suy ra hàm số $g\left( x \right) = 2x - 3f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

c) Ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Mà $0 \le {\sin ^2}x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}$$ \Rightarrow 0 \le {\sin ^2}x < \frac{3}{2},\forall x \in \mathbb{R}$ $ \Rightarrow f\left( {{{\sin }^2}x} \right) > f\left( {\frac{3}{2}} \right)$.

d) Ta có $y' = {\left( {2 - 3x} \right)^\prime } \cdot f'\left( {2 - 3x} \right) = - 3f'\left( {2 - 3x} \right)$.

Hàm số $y = f\left( {2 - 3x} \right)$ nghịch biến $y' = - 3f'\left( {2 - 3x} \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( {2 - 3x} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 3x < 0\\2 - 3x > 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < 0\end{array} \right.$. Suy ra hàm số $y = f\left( {2 - 3x} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)$.