Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

b) Hàm số \(g\left( x \right) = 2x - 3f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

c) \(f\left( {{{\sin }^2}x} \right) < f\left( {\frac{3}{2}} \right)\).

d) Hàm số \(y = f\left( {2 - 3x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

Ta có \(M \in \left( C \right)\) \( \Rightarrow M\left( {{x_0};{x_0} + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)\) với \({x_0} > - 1\).

Ta có \(I{M^2} = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_0} + 1 + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)^2} = 2{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + 2\).

Đặt \(t = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2},t > 0\) thì khi đó \(I{M^2} = 2t + 2 + \frac{1}{t}\).

Xét hàm số \(y = 2t + 2 + \frac{1}{t}\) có \(y' = 2 - \frac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Bảng biến thiên

Để thuyền thu được sóng tốt nhất \( \Leftrightarrow IM\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - 1\).

Vậy \(n = 4;a = 2;b = 1 \Rightarrow a \cdot n + b = 9\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne m\).

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;m} \right)\) và \(\left( {m; + \infty } \right)\).

Vậy khi \(m = 1\) hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Bảng biến thiên

Với \(m = 1\)  thì giá trị lớn nhất của hàm số  \(f\left( 4 \right) = \frac{1}{3}\).

c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} = 1\).

Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) bằng \( - 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + m - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m = 2,m = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m = - 3\).