Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M\left( {2;3; - 1} \right),N\left( { - 1;1;1} \right)$.

a) Hình chiếu của điểm $M$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $\left( { - 2;3;1} \right)$.

b) Gọi $E$ là điểm đối xứng của điểm $M$ qua $N$. Tọa độ của điểm $E$ là $\left( { - 4; - 1;3} \right)$.

c) Cho $P\left( {1;m - 1;3} \right)$. Tam giác $MNP$ vuông tại N khi và chỉ khi $m = 1$.

d) Điểm $I\left( {a;b;c} \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ thỏa mãn $T = \left| {3\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Hình chiếu của điểm $M$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $\left( {0;3;0} \right)$.

b) Vì $N$ là trung điểm của $ME$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = \frac{{2 + {x_E}}}{2}\\1 = \frac{{3 + {y_E}}}{2}\\1 = \frac{{ - 1 + {z_E}}}{2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 1\\{z_E} = 3\end{array} \right.$$ \Rightarrow E\left( { - 4; - 1;3} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {NM} = \left( {3;2; - 2} \right);\overrightarrow {NP} = \left( {2;m - 2;2} \right)$.

$\Delta MNP$ vuông tại $N$$ \Leftrightarrow \overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NP} = 0$$ \Leftrightarrow 3 \cdot 2 + 2 \cdot \left( {m - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

d) Gọi $J\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn $3\overrightarrow {JM} - \overrightarrow {JN} = \overrightarrow 0 $$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) - \left( { - 1 - x} \right) = 0\\3\left( {3 - y} \right) - \left( {1 - y} \right) = 0\\3\left( { - 1 - z} \right) - \left( {1 - z} \right) = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\y = 4\\z = - 2\end{array} \right.$.

Suy ra $J\left( {\frac{7}{2};4; - 2} \right)$.

Khi đó $T = \left| {3\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} } \right| = \left| {3\overrightarrow {IJ} + 3\overrightarrow {JM} - \overrightarrow {IJ} - \overrightarrow {JN} } \right| = \left| {2\overrightarrow {IJ} } \right| = 2IJ$.

$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu của $J$ trên $\left( {Oxy} \right)$ $ \Leftrightarrow I\left( {\frac{7}{2};4;0} \right)$.

Vậy $a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0$. Suy ra $2a + b + c = 11$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ với $x > - 1$ mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm $I\left( { - 1; - 1} \right)$, biết hoành độ điểm $M$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$ mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là ${x_0} = \frac{1}{{\sqrt[n]{a}}} - b$ (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức $P = a \cdot n + b$.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $M \in \left( C \right)$ $ \Rightarrow M\left( {{x_0};{x_0} + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)$ với ${x_0} > - 1$.

Ta có $I{M^2} = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_0} + 1 + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)^2} = 2{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + 2$.

Đặt $t = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2},t > 0$ thì khi đó $I{M^2} = 2t + 2 + \frac{1}{t}$.

Xét hàm số $y = 2t + 2 + \frac{1}{t}$ có $y' = 2 - \frac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Bảng biến thiên

$Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ với $x > - 1$ (ảnh 1)$

Để thuyền thu được sóng tốt nhất $ \Leftrightarrow IM$ ngắn nhất $ \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - 1$.

Vậy $n = 4;a = 2;b = 1 \Rightarrow a \cdot n + b = 9$.

Câu 2

Cho hàm số $y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}$ (với tham số $m$). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Khi $m = 1$ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Khi $m = 1$ thì trên đoạn $\left[ {1;4} \right]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$.

c) $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Có 1 giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ bằng $ - 1$.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne m$.

Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;m} \right)$ và $\left( {m; + \infty } \right)$.

Vậy khi $m = 1$ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Bảng biến thiên

$Cho hàm số $y = {x - {m^2} - 2{x - m}}$ (với tham số $m$). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: (ảnh 1)$

Với $m = 1$ thì giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( 4 \right) = \frac{1}{3}$.

c) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}} = 1$.

Suy ra $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

d) Để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}$ trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ bằng $ - 1$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + m - 6 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m = 2,m = - 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow m = - 3$.

Câu 3