Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {2;3; - 1} \right),N\left( { - 1;1;1} \right)\).
a) Hình chiếu của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( { - 2;3;1} \right)\).
b) Gọi \(E\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua \(N\). Tọa độ của điểm \(E\) là \(\left( { - 4; - 1;3} \right)\).
c) Cho \(P\left( {1;m - 1;3} \right)\). Tam giác \(MNP\) vuông tại N khi và chỉ khi \(m = 1\).
d) Điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) thỏa mãn \(T = \left| {3\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(2a + b + c = 9\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {2;3; - 1} \right),N\left( { - 1;1;1} \right)\).
a) Hình chiếu của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( { - 2;3;1} \right)\).
b) Gọi \(E\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua \(N\). Tọa độ của điểm \(E\) là \(\left( { - 4; - 1;3} \right)\).
c) Cho \(P\left( {1;m - 1;3} \right)\). Tam giác \(MNP\) vuông tại N khi và chỉ khi \(m = 1\).
d) Điểm \(I\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) thỏa mãn \(T = \left| {3\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \(2a + b + c = 9\).
Quảng cáo
Trả lời:

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Hình chiếu của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( {0;3;0} \right)\).
b) Vì \(N\) là trung điểm của \(ME\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = \frac{{2 + {x_E}}}{2}\\1 = \frac{{3 + {y_E}}}{2}\\1 = \frac{{ - 1 + {z_E}}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 1\\{z_E} = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow E\left( { - 4; - 1;3} \right)\).
c) Ta có \(\overrightarrow {NM} = \left( {3;2; - 2} \right);\overrightarrow {NP} = \left( {2;m - 2;2} \right)\).
\(\Delta MNP\) vuông tại \(N\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {NM} \cdot \overrightarrow {NP} = 0\)\( \Leftrightarrow 3 \cdot 2 + 2 \cdot \left( {m - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
d) Gọi \(J\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {JM} - \overrightarrow {JN} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {2 - x} \right) - \left( { - 1 - x} \right) = 0\\3\left( {3 - y} \right) - \left( {1 - y} \right) = 0\\3\left( { - 1 - z} \right) - \left( {1 - z} \right) = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\y = 4\\z = - 2\end{array} \right.\).
Suy ra \(J\left( {\frac{7}{2};4; - 2} \right)\).
Khi đó \(T = \left| {3\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IN} } \right| = \left| {3\overrightarrow {IJ} + 3\overrightarrow {JM} - \overrightarrow {IJ} - \overrightarrow {JN} } \right| = \left| {2\overrightarrow {IJ} } \right| = 2IJ\).
\(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(I\) là hình chiếu của \(J\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Leftrightarrow I\left( {\frac{7}{2};4;0} \right)\).
Vậy \(a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0\). Suy ra \(2a + b + c = 11\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
b) Ta có \(g'\left( x \right) = 2 - 3f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\), suy ra hàm số \(g\left( x \right) = 2x - 3f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
c) Ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
Mà \(0 \le {\sin ^2}x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow 0 \le {\sin ^2}x < \frac{3}{2},\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow f\left( {{{\sin }^2}x} \right) > f\left( {\frac{3}{2}} \right)\).
d) Ta có \(y' = {\left( {2 - 3x} \right)^\prime } \cdot f'\left( {2 - 3x} \right) = - 3f'\left( {2 - 3x} \right)\).
Hàm số \(y = f\left( {2 - 3x} \right)\) nghịch biến \(y' = - 3f'\left( {2 - 3x} \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( {2 - 3x} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - 3x < 0\\2 - 3x > 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{2}{3}\\x < 0\end{array} \right.\). Suy ra hàm số \(y = f\left( {2 - 3x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\).
Lời giải
Ta có \(M \in \left( C \right)\) \( \Rightarrow M\left( {{x_0};{x_0} + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)\) với \({x_0} > - 1\).
Ta có \(I{M^2} = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + {\left( {{x_0} + 1 + \frac{1}{{{x_0} + 1}}} \right)^2} = 2{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} + 2\).
Đặt \(t = {\left( {{x_0} + 1} \right)^2},t > 0\) thì khi đó \(I{M^2} = 2t + 2 + \frac{1}{t}\).
Xét hàm số \(y = 2t + 2 + \frac{1}{t}\) có \(y' = 2 - \frac{1}{{{t^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
Bảng biến thiên

Để thuyền thu được sóng tốt nhất \( \Leftrightarrow IM\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} - 1\).
Vậy \(n = 4;a = 2;b = 1 \Rightarrow a \cdot n + b = 9\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.