Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian \(t\left( s \right)\) là \(a\left( t \right) = 2t - 7\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)\). Biết vận tốc ban đầu bằng \(6{\rm{m/s}}\).

Ta có vectơ pháp tuyến của \[\left( \beta \right),\left( P \right),\left( Q \right)\] lần lượt là \[\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2;3} \right),\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;3;1} \right),\,\overrightarrow {{n_3}} \left( {1; - 1;1} \right)\].

Khi đó \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right]} \right] = \left( { - 8;16; - 8} \right) = - 8\left( {1; - 2;1} \right)\].

Gọi \[A\left( {x;y;z} \right) \in d\] là giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\], khi đó toạ độ điểm \[A\] thoả mãn hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + z - 7 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\]. Cho \[x = 0\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}3y + z - 7 = 0\\ - y + z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = 1\end{array} \right.\], khi đó \[A\left( {0;2;1} \right)\].

Do \[\left( \alpha \right)\] chứa giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] nên \[\left( \alpha \right)\] đi qua \[A\left( {0;2;1} \right)\].

Phương trình \[\left( \alpha \right):x - 2\left( {y - 2} \right) + z - 1 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + z + 3 = 0\]. Vậy \[d = 3\].

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) nhận \(\overrightarrow u \) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - x + 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2z - 2 = 0\).

b) Có \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 2;4; - 1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là \( - 2x + 4\left( {y + 1} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 2x + 4y - z + 5 = 0\).

c) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;2;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;1;0} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1; - 5} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là

\( - x + 1.\left( {y + 1} \right) - 5\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - x + y - 5z + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow x - y + 5z - 6 = 0\).

d) \(M\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục \(Ox\) nên \(M\left( { - 2;0;0} \right)\),

\(N\)là giao điểm của \(\left( Q \right)\) và trục \(Oz\) nên \(N\left( {0;0;5} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 2;1; - 1} \right),\overrightarrow {AN} = \left( {0;1;4} \right),\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right] = \left( {5;8; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) có phương trình là \(5x + 8\left( {y + 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5x + 8y - 2z + 10 = 0\).