Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - z + 10 = 0$ và điểm $A\left( {1;0;0} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $A$, vuông góc với $\left( P \right)$, cách gốc tọa độ $O$ một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ và cắt các tia $Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $B,C$ không trùng $O$. Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử $B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)$ với $b > 0,c > 0$.

Do đó phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Ta có $\frac{1}{{{d^2}\left( {O,\left( \alpha \right)} \right)}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{9}{4}$$ \Leftrightarrow \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{5}{4}$.

Vì $\left( P \right) \bot \left( \alpha \right)$ nên $1 - \frac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow c = 1$. Suy ra $b = 2$.

Vậy $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;1} \right)$.

Do đó ${V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.2.1 = \frac{1}{3} \approx 0,33$.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian $t\left( s \right)$ là $a\left( t \right) = 2t - 7\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$. Biết vận tốc ban đầu bằng $6{\rm{m/s}}$.

a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t\left( s \right)$ xác định bởi $v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 10$.

b) Tại thời điểm $t = 7\left( {\rm{s}} \right)$, vận tốc của chất điểm là $6\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

c) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \le t \le 7$ là $18{\rm{m}}$.

d) Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là $t = 7\left( {\rm{s}} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( {2t - 7} \right)dt} = {t^2} - 7t + C$.

Vì $v\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow C = 6$. Do đó $v\left( t \right) = {t^2} - 7t + 6$.

b) $v\left( 7 \right) = {7^2} - 7.7 + 6 = 6\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

c) Có $s = \int\limits_1^7 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_1^7 {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t} \right)} \right|_1^7 = - 18$.

d) Tọa độ của chất điểm tại thời điểm $t$ là $x\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} = \int {\left( {{t^2} - 7t + 6} \right)dt} = \frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{7{t^2}}}{2} + 6t + C$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $x\left( t \right)$ với $t \in \left[ {0;8} \right]$.

Ta có $x'\left( t \right) = v\left( t \right) = 0$ khi $t = 1$ hoặc $t = 6$.

Lại có $x\left( 0 \right) = C,x\left( 1 \right) = \frac{{17}}{6} + C,x\left( 6 \right) = - 18 + C,x\left( 8 \right) = - \frac{{16}}{3} + C$.

Vậy giá trị lớn nhất của $x\left( t \right)$ với $t \in \left[ {0;8} \right]$ đạt được khi $t = 1$.

Câu 2

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(\alpha ):x + by + cz + d = 0$ vuông góc với mặt phẳng $(\beta ):x + 2y + 3z + 4 = 0$ và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):x + 3y + z - 7 = 0,$ $(Q):x - y + z + 1 = 0.$ Khi đó $d$ bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Ta có vectơ pháp tuyến của \[\left( \beta \right),\left( P \right),\left( Q \right)\] lần lượt là \[\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;2;3} \right),\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;3;1} \right),\,\overrightarrow {{n_3}} \left( {1; - 1;1} \right)\].

Khi đó \[\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\left[ {\overrightarrow {{n_2}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right]} \right] = \left( { - 8;16; - 8} \right) = - 8\left( {1; - 2;1} \right)\].

Gọi \[A\left( {x;y;z} \right) \in d\] là giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\], khi đó toạ độ điểm \[A\] thoả mãn hệ \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + z - 7 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\]. Cho \[x = 0\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}3y + z - 7 = 0\\ - y + z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\z = 1\end{array} \right.\], khi đó \[A\left( {0;2;1} \right)\].

Do \[\left( \alpha \right)\] chứa giao tuyến của \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] nên \[\left( \alpha \right)\] đi qua \[A\left( {0;2;1} \right)\].

Phương trình \[\left( \alpha \right):x - 2\left( {y - 2} \right) + z - 1 = 0 \Leftrightarrow x - 2y + z + 3 = 0\]. Vậy \[d = 3\].

Câu 3