Cho hình cuông ABCD cạnh 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\widehat {CDN} = \widehat {ECN}\) (cùng phụ với \(\widehat {CNE}\)) nên \(\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {CEN} = 90^\circ \) do đó, CM ⊥ DN.

Gọi I là trung điểm của DM.

Xét tam giác vuông ADM có AI = ID = IM = \(\frac{{DM}}{2}\). Xét tam giá vuông DEM có EI = ID = IM = \(\frac{{DM}}{2}\) nên EI = ID = IM = IA = \(\frac{{DM}}{2}\).

Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = \(\frac{{DM}}{2}\).

Xét tam giác ADM vuông tại A có AD = 4 cm, AM = \(\frac{{AB}}{2}\) = 2 cm nên theo định lý Pythagore ta có:

DM = \(\sqrt {A{D^2} + A{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \).

Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm A, D, E, M là

R = \(\frac{{DM}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \) cm.