Câu hỏi:

31/01/2025 79

Cho dãy số (un) với .

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta sẽ chứng minh \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]

Với \[{\rm{n = 1: }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\sqrt {{\rm{2023}}} {\rm{, }}{{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ = }}\sqrt {{\rm{2023 + }}\sqrt {{\rm{2023}}} } \]

Ta có \[\sqrt {2023} > 0 \Leftrightarrow 2023 + \sqrt {2023} > 2023 \Leftrightarrow \sqrt {2023 + \sqrt {2023} } > \sqrt {2023} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{2 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{1}}}\]

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là \[{{\rm{u}}_{{\rm{k + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{k}}}\]. Ta phải chứng minh \[{{\rm{u}}_{{\rm{k + 2 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{{\rm{k + 1}}}}\].

Thật vậy, ta có:

\[{{\rm{u}}_{{\rm{k + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{k}}} \Leftrightarrow 2023 + {{\rm{u}}_{{\rm{k + 1}}}} > 2023 + {{\rm{u}}_{\rm{k}}} \Leftrightarrow \sqrt {2023 + {{\rm{u}}_{{\rm{k + 1}}}}} > \sqrt {2023 + {{\rm{u}}_{\rm{k}}}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{k + 2 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{{\rm{k + 1}}}}\]Vậy mệnh đề đúng với n = k + 1. Do đó \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}},\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\] Vậy \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{{\rm{n }}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}\]. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

Đáp án cần chọn là: A

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Ta có:

\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{S}}_{\rm{n}}} - {{\rm{S}}_{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{1}}} \right) - \left( {{{\rm{3}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {{\rm{3}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{3}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}\left( {{\rm{3}} - {\rm{1}}} \right){\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}\]

\[{{\rm{u}}_{{\rm{9 }}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{9}} - {\rm{1 }}}}{\rm{ = }} - {\rm{13122}}\]

\[{{\rm{u}}_{{\rm{10}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{11}}}}{\rm{ = 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{10}} - {\rm{1}}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{11}} - {\rm{1}}}}{\rm{ = 157464}}\]

\[\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}}}{{{{\rm{u}}_{{\rm{2024}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{2023}} - {\rm{1}}}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{2024}} - {\rm{1}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{3}}^{{\rm{2022}}}}}}{{{{\rm{3}}^{{\rm{2023}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\]

\[\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{2022}}}}}}{{{{\rm{u}}_{{\rm{2024}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{2022}} - {\rm{1}}}}}}{{{\rm{2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{{\rm{2024}} - {\rm{1}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{3}}^{{\rm{2021}}}}}}{{{{\rm{3}}^{{\rm{2023}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{9}}}\]

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Lời giải

Ta có:\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{n + 1}}} \right) - {\rm{1}}}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n + 1}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 2 + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n + 3}}}}\]

Xét hiệu: \[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{\rm{2n + 3}}}} - \frac{{{\rm{n}} - {\rm{1}}}}{{{\rm{2n + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{2n + 1}}} \right) - \left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}\]

\[{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n}}} \right) - \left( {{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}} - {\rm{2n + 3n}} - {\rm{3}}} \right)}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}\]

\[{\rm{ = }}\frac{{{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n}} - {\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2n}} - {\rm{3n + 3}}}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{3}}}{{\left( {{\rm{2n + 3}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{\rm{ > 0,}}\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]

Vậy\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ > 0}} \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1 }}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}\]. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.

Đáp án cần chọn là: A:

Câu 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP