Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản \[\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}\]. Tính tổng \[{\rm{T = a + b}}\]

\[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} = \lim \left( {\sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + an + 5}}} - \sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} } \right)\]

\[{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{an + 4}}}}{{\sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + an + 5}}} {\rm{ + }}\sqrt {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} }}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{a + }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{n}}}}}{{\sqrt {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{a}}}{{\rm{n}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{5}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}} {\rm{ + }}\sqrt {{\rm{1 + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}} }}{\rm{ = }}\frac{{\rm{a}}}{{\rm{2}}}\]

Để \[\lim {{\rm{u}}_{\rm{n}}} = - 1 \Leftrightarrow \frac{{\rm{a}}}{{\rm{2}}} = - 1 \Rightarrow {\rm{a}} = - 2\]

Đáp án cần chọn là: C

Ta có \[{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{{\rm{6}}}\]

Do đó \[{\rm{lim}}\frac{{{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{2}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}...{\rm{ + }}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{n}}\left( {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}}{\rm{ = lim}}\frac{{{\rm{n}}\left( {{\rm{n}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{2n + 1}}} \right)}}{{{\rm{6n}}\left( {{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{6}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\]

Đáp án cần chọn là: D