Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:4x - 5y + 8 = 0\) và \({\Delta _2}:10x + 8y - 4 = 0\).

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5; - 4} \right)\).

b) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

c) Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) nhỏ hơn 60 độ.

d) Điểm \(M\) thuộc giao điểm của \({\Delta _1}\) và trục hoành. Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \({\Delta _2}\) là \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{a}{{\sqrt b }}\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\) sao cho \(a,b\) là phân số tối giản. Khi đó \(\sqrt {a + b} > 7\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5; - 4} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right) = 0\). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

c) Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ \).

d) Ta có \(M\left( { - 2;0} \right)\).

Khi đó \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {10.\left( { - 2} \right) + 8.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{{10}^2} + {8^2}} }} = \frac{{24}}{{2\sqrt {41} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {41} }}\).

Suy ra \(a = 12;b = 41\). Suy ra \(\sqrt {12 + 41} = \sqrt {53} > 7\).