Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M( - 1;2)\)và 2 đường thẳng\({d_1}:x + 2y + 1 = 0;\,{d_2}:2x + y + 2 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(M( - 1;2)\)và cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A,B\)sao cho \(MA = 2MB\).

+ Ta có: \(\Delta \cap {d_1} = A \Rightarrow A \in {d_1} \Rightarrow A\left( { - 1 - 2a;a} \right)\).

\(\Delta \cap {d_2} = B \Rightarrow B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {b; - 2 - 2b} \right)\).

+ Suy ra\(\overrightarrow {MA} = ( - 2a;a - 2);\overrightarrow {MB} = (b + 1; - 2b - 4)\).

+ đường thẳng \(\Delta \)qua \(M( - 1;2)\)và cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A,B\) nên\(M,A,B\) thẳng hàng.

Lại có \(MA = 2MB\)suy ra\[\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \\\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \end{array} \right.\].

+ \[\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = 2(b + 1)\\a - 2 = 2( - 2b - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = - \frac{5}{3}\end{array} \right.\] .

Suy ra \(A\left( { - \frac{7}{3};\frac{2}{3}} \right);B\left( { - \frac{5}{3};\frac{4}{3}} \right)\). Suy ra phương trình đường thẳng \[\Delta :x - y + 3 = 0\] .

+ \[\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2(b + 1)\\a - 2 = - 2( - 2b - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 3\end{array} \right.\] .

Suy ra \(A\left( {3; - 2} \right);B\left( { - 3;4} \right)\). Suy ra phương trình đường thẳng \[\Delta :x + y - 1 = 0\] .