Một cốc nước hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao Trong cốc chứa một lượng nước bằng thể tích cốc. Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá Con quạ thông minh đã mổ những viên sỏi hình cầu có bán kính thả vào cốc để mực nước dâng lên. Hỏi để uống được nước, con quạ cần thả ít nhất bao nhiêu viên sỏi?

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn , tốc độ của ô tô là . Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ , trong đó là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau giây và duy trì sự tăng tốc trong giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, sau giây đó ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong giây đầu trong thời gian còn lại trên cao tốc.

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là .

b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là .

c) Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn là .

d) Sau giây kể từ khi tăng tốc, ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong vòng giây thì phát hiện chướng ngại vật cách đó , người điều khiển lập tức đạp phanh và ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc . Khi đó ô tô dừng lại cách chướng ngại vật .

Cho hàm số .

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là .

b) Hàm số có điểm cực trị thuộc đoạn .

c) Hàm số đồng biến trên khoảng .

d) Giá trị lớn nhất của trên đoạn là .

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7 500 000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, các nhà nghiên cứu của trung tâm Vũ Trụ Nasa đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không quá 4 600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian có gốc là tâm Trái Đất và đơn vị độ dài mỗi trục tọa độ là 1 000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ  không đổi theo đường thẳng xuất phát từ điểm  đến

a) Khoảng cách thiên thạch gần với Trái Đất nhất có độ dài bằng 3 449 km (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

b) Các nhà nghiên cứu của trung tâm vũ trụ Nasa đưa ra giả thiết nếu lúc thiên thạch đang ở vị trí  bất ngờ đổi hướng và lao xuống Trái Đất với phương thẳng thì quãng đường dài nhất nó có thể va chạm với Trái Đất là 14 490 km (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

c) Tại thời điểm thiên thạch ở vị trí thì có hai vệ tinh đang ở vị trí ,  có vận tốc khác nhau di chuyển trong mặt phẳng trung trực của và luôn cách Trái Đất với khoảng cố định. Khoảng cách xa nhất của 2 vệ tinh có thể đạt là 18 412 km (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Nếu vệ tinh đi với vận tốc thì sẽ va chạm với thiên thạch.

Trước 3 tiếng khi diễn ra trận Derby thành Manchester giữa MU-MC. Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 100 người hâm mộ của MU (có 20 người đang mặc áo của đội bóng) về việc có nên xem trận đấu đó hay không. Kết quả cho thấy rằng 75 người trả lời sẽ xem, 25 người trả lời sẽ không xem. Nhưng thực tế cho thấy rằng tỉ lệ người hâm mộ MU thực sự xem trận đấu tương ứng với những cách trả lời “có xem” và “không xem” là 80% và 20%.

Gọi là biến cố “Người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu”.

Gọi là biến cố “Người được phỏng vấn trả lời sẽ xem trận đấu”.

a) .

b) Tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu là 72,5%.

c) Trong số người được phỏng vấn thực sự sẽ xem có 17% người trả lời không xem khi được phỏng vấn.

d) Trong số những người mặc áo đội bóng có 30% người phỏng vấn thực sự sẽ không xem trận đấu biết rằng số người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu mặc áo đội bóng là 14 người.