Hai lớp \(9A,9B\) có \(80\) học sinh. Trong đợt góp sách ủng hộ vùng khó khăn mỗi em lớp \(9A\) góp \(2\) quyển sách, mỗi em lớp \(9B\) góp \(3\) quyển sách nên cả hai lớp góp được \(198\) quyển. Gọi số học sinh của lớp \(9A\) là \(x\) \(\left( {0 < x < 80,x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

 a) Số học sinh của lớp \(9B\) là \(180 - x\) (học sinh).

 b) Số sách lớp \(9A\) và lớp \(9B\) góp được lần lượt là \(2x\) và \(3\left( {80 - x} \right)\) (quyển).

 c) Phương trình mô tả bài toán là \(2x + 3\left( {80 - x} \right) = 198\).

 d) Số học sinh lớp lớp \(9A\) nhiều hơn số học sinh lớp \(9B\) là \(5\) bạn.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(\Delta ABC\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\({5^2} + {12^2} = B{C^2}\)

\(B{C^2} = 169\)

Suy ra \(BC = 13{\rm{ cm}}\).

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {ABC} = \widehat {ABH}\) (góc chung)

Suy ra  (g.g)

Do đó, \(\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) hay \(A{B^2} = BH.BC\) (đpcm)

c) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (gt) và \(\widehat {ACB} = \widehat {ACH}\) (góc chung)

Suy ra  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = HC.BC\).

Khi đó, \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH.BC}}{{HC.BC}} = \frac{{HB}}{{HC}}\) (*)

Ta có \(M\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) nên \(HM \bot AB\) (1).

Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC \bot AB\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(HM\parallel AC\).

Suy ra \(\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) (**)

Thay (**) vào (*) ta được: \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) (đpcm)

Nửa chu vi của hình chữ nhật là \(100:2 = 50{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) \(\left( {0 < x < 50} \right)\).

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: \(50 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: \(x\left( {50 - x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Nếu tăng chiều rộng thêm \(10{\rm{ m}}\) thì chiều rộng mới là \(x + 10{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Nếu giảm chiều dài đi \(10{\rm{ m}}\) thì chiều dài mới là \(50 - x - 10 = 40 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình:

\(x\left( {50 - x} \right) = \left( {x + 10} \right)\left( {40 - x} \right)\)

\(50x - {x^2} = 40x - {x^2} + 400 - 10x\)

\(50x - 40x + 10x = 400\)

\(20x = 400\)

\(x = 20\) (thỏa mãn).

Do đó, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \(20{\rm{ m}}\), chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là \(30{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \(20.30 = 600{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).