Câu hỏi:

11/02/2025 408

Tính tổng \(S = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\) với \(x = \sqrt 2 \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có: \(S = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)

\(S = \frac{{1 + x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{{1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)

\(S = \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)

\(S = \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{{2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)

\(S = \frac{{2 + 2{x^2} + 2 - 2{x^2}}}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)

\(S = \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)

\(S = \frac{{4\left( {1 + {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{{4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 + {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)

\(S = \frac{{4 + 4{x^4} + 4 - 4{x^4}}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)

\(S = \frac{8}{{1 - {x^8}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\)

\(S = \frac{{8\left( {1 + {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} + \frac{{8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}}\)

\(S = \frac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\).

Thay \(x = \sqrt 2 \) vào \(S = \frac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\), ta được: \(S = \frac{{16}}{{1 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{16}}}} = \frac{{16}}{{1 - {2^8}}} = \frac{{16}}{{1 - 256}} = \frac{{ - 16}}{{255}}\).

Vậy \(S = \frac{{ - 16}}{{255}}\).

 

 

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó \(A,B\) là hai đa thức và \(B \ne 0\).

Do đó, \(\frac{{{x^2} + 1}}{0}\) không là một phân thức.

Câu 2

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có phân thức \(\frac{{x - 5}}{{{x^2} - 4}}\) xác định khi \({x^2} - 4 \ne 0\) hay \({x^2} \ne 4\).

Suy ra \(x \ne 2;x \ne - 2\).

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP