Một đội tuyển thi bắn súng có 10 xạ thủ, bao gồm 4 xạ thủ hạng và 6 xạ thủ hạng . Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ hạng và hạng lần lượt là và . Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó chỉ bắn 1 viên đạn.

Gọi  là biến cố: “Chọn được xạ thủ hạng ”;

 là biến cố: “Viên đạn đó trúng mục tiêu”.

a)

b) và

c) .

d) Trong số những viên đạn bắn trúng mục tiêu, xác suất để viên đạn của xạ thủ loại  là .

Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh . Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm  để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (đơn vị cm).

Một người điều khiển ô tô đang ở trên đường cao tốc muốn tách làn ra khỏi đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm tách làn 320 m, tốc độ của ô tô là . Bốn giây sau đó, ô tô bắt đầu giảm tốc với tốc độ với , trong đó là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc. Biết rằng ô tô tách khỏi làn đường cao tốc sau 10 giây và duy trì sự giảm tốc trong 20 giây kể từ khi bắt đầu giảm tốc.

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu giảm tốc đến khi tách khỏi làn đường cao tốc bằng 220 m.

b) Giá trị của là 20.

c) Quãng đường (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây kể từ khi giảm tốc được tính theo công thức .

d) Sau 20 giây kể từ khi giảm tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là .

Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu (mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn trên hệ trục tọa độ  với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có tọa độ , cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính là mét. Một người di chuyển theo phương thẳng từ vị trí  đến vị trí  để nhận nguồn âm, biết rằng nguồn âm phát ở cường độ tai người nghe thấy được.

a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới nhận được cường độ âm chuẩn là

.

b) Tại điểm  sẽ nhận được cường độ âm chuẩn từ nguồn âm trên.

c) Đoạn đường người đó di chuyển nằm trên đường thẳng có phương trình tham số là .

d) Khi người đó di chuyển từ đến  thì vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm là .

Công ty A có kế hoạch tổ chức tour du lịch tâm linh tại tỉnh Bắc Giang đi qua 5 địa điểm: Đền Xương Giang, Chùa Bổ Đà, Chùa Vĩnh Nghiêm, Thiền viện Trúc lâm Phượng Hoàng, Đền Ngọc Lâm. Hành khách sẽ xuất phát từ Đền Xương Giang và đi thăm mỗi địa điểm đúng một lần. Qua khảo sát thực địa, công ty xây dựng được lược đồ như hình (khoảng cách giữa mỗi cặp địa điểm được ghi trên đường nối). Để tiết kiệm chi phí, công ty dự định chọn tuyến đường có tổng độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến đường này là bao nhiêu kilômét?