Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, vuông góc với mặt phẳng . Góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  bằng . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Trong không gian hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay Cam Ranh – Khánh Hòa ở vị trí và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km.

Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang chuyển động theo đường thẳng có phương trình và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là .

b) Quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu là km.

c) Toạ độ vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất là .

d) Khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu xấp xỉ bằng km.

Một tấm kính làm mặt bàn (H1) có hình dáng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng 12 dm. Để cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường cong là đường Parabol (H3) có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác (H4).

Khi đó, ta tính được diện tích mặt kính làm mặt bàn (H1) bằng . Xác định .

Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là và khả năng thắng thầu của dự án 2 là . Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là .

Gọi là biến cố: “Thắng thầu dự án 1”; gọi là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.

a)  và là hai biến cố độc lập.

b) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án bằng .

c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là .

d) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là .

Một chất điểm  xuất phát từ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật , trong đó  (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc  bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm  cũng xuất phát từ , chuyển động  thẳng cùng hướng với  nhưng chậm hơn 10 giây so với  và có gia tốc bằng  ( là hằng số). Sau khi  xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp .  

a) Quãng đường chất điểm đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là  

b) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm tính từ lúc xuất phát là  

c) Quãng đường chất điểm đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là

d) Vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp là

Theo báo cáo của một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất nước tinh khiết thì phải trả chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là . Gọi là chi phí sản xuất sản phẩm mỗi ngày và là chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm.

a) (triệu đồng).

b) Chi phí sản xuất nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

c) (triệu đồng).

d) Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết sản xuất trong ngày là .